公式手册
公众号: 考研经验超市
目录
- 高等数学部分 ……………………………………………………………… 1
- 第零章 常用基础预备知识 ………………………………………………….. 1
- 第一章 函数､极限､连续 ………………………………………………….. 1
- 第二章 一元函数微分学 ……………………………………………………. 3
- 第三章 一元函数积分学 ……………………………………………………. 6
- 第四章 微分方程 ………………………………………………………… 12
- 第五章 多元微分 ………………………………………………………… 15
- 第六章 二重积分 ………………………………………………………… 18
- 线性代数部分 ……………………………………………………………… 20
- 第一章 行列式 ………………………………………………………….. 20
- 第二章 矩阵 ……………………………………………………………. 22
- 第三章 向量组 ………………………………………………………….. 27
- 第四章 线性方程组 ………………………………………………………. 30
- 第五章 特征值与特征向量 …………………………………………………. 32
- 第六章 二次型 ………………………………………………………….. 34
公式手册
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高等数学部分
第零章 常用基础预备知识
三角函数重要公式
[
\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x, \sin 2x = 2\sin x \cos x,
]
[
\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}, \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2},
]
[
\tan^2 x = \sec^2 x - 1, \cot^2 x = \csc^2 x - 1,
]
[
\sin^2 x + \cos^2 x = 1,
]
[
\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}, \arctan x + \text{arccot}, x = \frac{\pi}{2},
]
[
\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \cdot \tan \beta}.
]万能公式:
若 (\tan \frac{x}{2} = u(-\pi < x < \pi)) 则 (\sin x = \frac{2u}{1 + u^2})，(\cos x = \frac{1 - u^2}{1 + u^2})
注：若积分中出现 (1 + \cos x)，一般使用公式 (1 + \cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2})一元二次方程基础
① 一元二次方程 (ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0))。
② 根的公式 (x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})
③ 根与系数的关系(韦达定理)：(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a})，(x_1 x_2 = \frac{c}{a})
④ 判别式 (\Delta = b^2 - 4ac)- (\Delta > 0)，方程有两个不等的实根；
- (\Delta = 0)，方程有两个相等的实根；
- (\Delta < 0)，方程有两个共轭的复根。
⑤ 抛物线 (y = ax^2 + bx + c) 的顶点 ((-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a}))
因式分解公式
[(1) (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.]
[(2) (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.]
[(3) (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.]
[(4) (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.]
[(5) a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).]
[(6) a^3 - b^3 = (a - b)\left(a^2 + ab + b^2\right).]
[(7) a^3 + b^3 = (a + b)\left(a^2 - ab + b^2\right).]
[(8) a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1})(n \text{是正整数}).]
[(9) 当n是正偶数时,a^n - b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \cdots + ab^{n-2} - b^{n-1}).]
[(10) 当n是正奇数时,a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \cdots - ab^{n-2} + b^{n-1})]
[(11) 二项式定理]
[
\begin{aligned}
(a + b)^n &= \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} \
&= a^n + na^{n - 1}b + \frac{n(n - 1)}{2!}a^{n - 2}b^2 + \cdots + \
&\quad \frac{n(n - 1)\cdots(n - k + 1)}{k!}a^{n - k}b^k + \cdots + nab^{n - 1} + b^n.
\end{aligned}
]数列基础
(1) 等差数列.
首项为 (a_1)，公差为 (d(d \neq 0)) 的数列 (a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, \cdots, a_1 + (n - 1)d, \cdots)。
① 通项公式 (a_n = a_1 + (n - 1)d)
② 前n项的和 (S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] = \frac{n}{2}(a_1 + a_n))(2) 等比数列.
首项为 (a_1)，公比为 (r(r \neq 0)) 的数列 (a_1, a_1r, a_1r^2, \cdots, a_1r^{n - 1}, \cdots)。
① 通项公式 (a_n = a_1r^{n - 1})。
② 前n项的和 (S_n = \begin{cases} na_1, & r = 1 \ \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}, & r \neq 1 \end{cases})
[(3) 常用 1 + r + r^2 + \cdots + r^{n - 1} = \frac{1 - r^n}{1 - r}(r \neq 1).](3) 一些常见数列前n项的和。
[(1) \sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}.]
[(2) \sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}.]
[(3) \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdots + \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{n}{n + 1}.]阶乘与双阶乘
[(1) n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot n, 规定 0! = 1.]
[(2) (2n)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (2n) = 2^n \cdot n!.]
[(3) (2n - 1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (2n - 1).]指数运算规则
[
a^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha + \beta}, \frac{a^\alpha}{a^\beta} = a^{\alpha - \beta}, \left(a^\alpha\right)^\beta = a^{\alpha\beta}, (ab)^\alpha = a^\alpha b^\alpha, \left(\frac{a}{b}\right)^\alpha = \frac{a^\alpha}{b^\alpha},
]
其中a，b是正实数，(\alpha, \beta) 是任意实数.对数运算规则
[(1) \log_a(MN) = \log_a M + \log_a N , (\text{积的对数} = \text{对数的和}).]
[(2) \log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N , (\text{商的对数} = \text{对数的差}).]
[(3) \log_a M^n = n \log_a M , (\text{幂的对数} = \text{对数的倍数}).]
[(4) \log_a \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_a M.]常用不等式
(1) 设a、b为实数，则① (|a \pm b| \leqslant |a| + |b|)；② (||a| - |b|| \leqslant |a - b|)
[(2) (1) \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}(a, b > 0);]
[(2) \sqrt[3]{abc} \leq \frac{a + b + c}{3} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3}}(a, b, c > 0).]
(3) 设 (a > b > 0)
(4) 若 (0 < a < x < b)，(0 < c < y < d) 则 (\frac{c}{b} < \frac{y}{x} < \frac{d}{a})
[(5) \sin x < x < \tan x\left(0 < x < \frac{\pi}{2}\right).]
[(6) \sin x < x(x > 0).]
[(7) \arctan x \leq x \leq \arcsin x(0 \leq x \leq 1).]
[(8) e^x \geq x + 1(\forall x).]
[(9) x - 1 \geq \ln x(x > 0).]
[(10) \frac{1}{1 + x} < \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right) < \frac{1}{x}(x > 0).]
第一章 函数､极限､连续
常用等价无穷小
普通函数型
当(x \to 0)时，(\sin x \sim x)，(\tan x \sim x)，(\arcsin x \sim x)，(\arctan x \sim x)，
[
e^x - 1 \sim x, \ln(1 + x) \sim x,
]
[
\ln\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) \sim x,
]
[
a^x - 1 = e^{x \ln a} - 1 \sim x \ln a(a > 0 \text{且} a \neq 1),
]
[
1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2, 1 - \cos^\alpha x \sim \frac{\alpha}{2}x^2,
]
[
(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x(\alpha \neq 0), (1 + x)^x - 1 = e^{x \ln(1 + x)} - 1 \sim x^2
]差函数型
当(x \to 0)时，
[
x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3, x - \arcsin x \sim -\frac{1}{6}x^3,
]
[
x - \tan x \sim -\frac{1}{3}x^3, x - \arctan x \sim \frac{1}{3}x^3,
]
[
x - \ln(1 + x) \sim \frac{1}{2}x^2, e^x - 1 - x \sim \frac{1}{2}x^2
]无穷大量阶的比较
当 (x \to +\infty)，当 (n \to \infty) 且 (p, q > 0, a > 1) 则
[
\lim_{n \to \infty} \frac{\ln^p n}{n^q} = 0, \lim_{n \to \infty} \frac{n^q}{a^n} = 0, \lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0, \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = 0
]常用的几个极限
[
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1, \lim_{x \to +0} x^n = 1.
]
[
\lim_{x \to 0^+} x^\alpha = \begin{cases} 0, & \alpha > 0, \ 1, & \alpha = 0, \ +\infty, & \alpha < 0. \end{cases}
]
[
\lim_{n \to \infty} n^x = \begin{cases} +\infty, & x > 0, \ 1, & x = 0, \ 0, & x < 0. \end{cases}
]常用麦克劳林公式
[
e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \cdots + \frac{1}{n!}x^n + o\left(x^n\right)
]
[
\ln(1 + x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \cdots + (-1)^{n - 1}\frac{x^n}{n} + o\left(x^n\right)
]
[
\sin x = x - \frac{1}{3!}x^3 + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!} + o\left(x^{2n + 1}\right)
]
[
\cos x = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o\left(x^{2n}\right)
]
[
\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + o\left(x^3\right)
]
[
\arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + o\left(x^3\right)
]
[
\arctan x = x - \frac{1}{3}x^3 + o\left(x^3\right)
]
[
\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + o\left(x^n\right)
]
[
\frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^2 + \cdots + (-1)^n x^n + o\left(x^n\right)
]
[
(1 + x)^m = 1 + mx + \frac{m(m - 1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{m(m - 1)\cdots(m - n + 1)}{n!}x^n + o\left(x^n\right)
]
第二章 一元函数微分学
基本求导公式
[(1) y = c , (\text{常数})]
[y’ = 0][(2) y = x^\alpha , (\alpha \text{为实数}) \quad y’ = \alpha x^{\alpha - 1}]
[(3) y = a^x]
[y’ = a^x \ln a]
[y = e^x]
[(e^x)’ = e^x][(4) y = \log_a x \quad y’ = \frac{1}{x \ln a}]
[y = \ln |x|]
[(\ln |x|)’ = \frac{1}{x}][(5) y = \sin x]
[y’ = \cos x][(6) y = \cos x]
[y’ = -\sin x][(7) y = \tan x]
[y’ = \sec^2 x][(8) y = \cot x]
[y’ = -\csc^2 x][(9) y = \sec x]
[y’ = \sec x \tan x][(10) y = \csc x]
[y’ = -\csc x \cot x][(11) y = \arcsin x]
[y’ = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}][(12) y = \arccos x]
[y’ = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}][(13) y = \arctan x \quad y’ = \frac{1}{1 + x^2}]
[(14) y = \text{arccot}, x]
[y’ = -\frac{1}{1 + x^2}]莱布尼茨求导公式
若 (u(x))，(v(x)) 均n阶可导，则
[(uv)^{(n)} = \sum_{i=0}^{n} C_{n}^{i} u^{(i)} v^{(n - i)}, 其中 u^{(0)} = u, v^{(0)} = v.]渐近线
(1) 水平渐近线
若 (\lim_{x \to +\infty} f(x) = b) 或 (\lim_{x \to -\infty} f(x) = b)，则 (y = b) 为函数 (y = f(x)) 的水平渐近线.(2) 垂直渐近线
若 (\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \infty) 或 (\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \infty)，则 (x = x_0) 为函数 (y = f(x)) 的垂直渐近线。(3) 斜渐近线
[
k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}, b = \lim_{x \to +\infty}[f(x) - kx] , (\text{或} , k = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}, b = \lim_{x \to -\infty}[f(x) - kx]), 则
]
直线 (y = kx + b) 是曲线 (y = f(x)) 的斜渐近线.反函数求导公式
设 (y = f(x)) 可导且 (f’(x) \neq 0)，现存在反函数 (x = \varphi(y))
[
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}
]
[
\varphi’(y) = \frac{1}{f’(x)}.
]在 (y = f(x)) 二阶可导的情况下，记 (f’(x) = y_x’)，(\varphi’(y) = x_y’)（(x_y’ \neq 0)）则有
[
y_x’ = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{x_y’}, y_{xx}’’ = \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx} = \frac{d\left(\frac{1}{x_y’}\right)}{dx} = \frac{d\left(\frac{1}{x_y’}\right)}{dy} \cdot \frac{1}{x_y’} = \frac{-x_{yy}’’}{\left(x_y’\right)^3}.
]
[
反过来，则有 x_y’ = \frac{1}{y_x’}, x_{yy}’’ = \frac{-y_{xx}’’}{\left(y_x’\right)^3}.
]复合函数求导法则
设 (u = g(x)) 在点x处可导，(y = f(u)) 在点 (u = g(x)) 处可导，则
[
{f[g(x)]}‘ = f’[g(x)]g’(x),
]
[
d{f[g(x)]} = f’[g(x)]g’(x)dx.
]隐函数求导法则
设函数 (y = y(x)) 是由方程 (F(x, y) = 0) 确定的可导函数，则
① 方程 (F(x, y) = 0) 两边对自变量x求导，注意 (y = y(x))，即将y看作中间变量，得到一个关于 (y’) 的方程；
② 解该方程便可求出 (y’)参数方程求导公式
[
\begin{cases} x = x(t), \ y = y(t) \end{cases} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{y’(t)}{x’(t)} \xlongequal{\text{记为}} \varphi(t), 则 \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt} = \frac{\varphi’(t)}{x’(t)}
]切线､法线与截距
设 (y = y(x)) 可导且 (y’(x) \neq 0)，则相关结论见下表。（原表格内容混乱，此处略）弧微分与曲率公式
[
ds = \lim_{\Delta x \to 0} \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} = \begin{cases}
\sqrt{1 + y’^2}dx, & \text{曲线为} , y = f(x), \
\sqrt{[x’(t)]^2 + [y’(t)]^2}dt, & \text{曲线为} , \begin{cases} x = x(t), \ y = y(t). \end{cases} \
\sqrt{r^2 + r’^2}d\theta, & \text{曲线为} , r = r(\theta).
\end{cases}
]设 (y(x)) 二阶可导，则曲线 (y = y(x)) 在点 ((x, y(x))) 处的曲率公式为
[
k = \frac{|y’’|}{\left[1 + (y’)^2\right]^{\frac{3}{2}}}.
]曲率半径的计算公式
[
R = \frac{1}{k} = \frac{\left[1 + (y’)^2\right]^{\frac{3}{2}}}{|y’’|} , (y’’ \neq 0).
]微分中值定理
定理1(有界与最值定理)：(m \leq f(x) \leq M)，其中m，M分别为 (f(x)) 在 ([a,b]) 上的最小值与最大值.定理2(介值定理)：当 (m \leq \mu \leq M) 时，存在 (\xi \in [a, b]) 使得 (f(\xi) = \mu)
定理3(平均值定理)：当 (a < x_1 < x_2 < \cdots < x_n < b) 时，在 ([x_1, x_n]) 上至少存在一点，使
[
f(\xi) = \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}.
]定理4(零点定理)：当 (f(a) \cdot f(b) < 0) 时，存在 (\xi \in (a, b))，使得 (f(\xi) = 0)
定理5(费马定理)：设 (f(x)) 在点 (x_0) 处满足取极值，则 (f’(x_0) = 0)
定理6(罗尔定理)：设 (f(x)) 满足
- 在 ([a, b]) 上连续，
- 在 ((a, b)) 内可导，
- (f(a) = f(b))，
则存在 (\xi \in (a, b))，使得 (f’(\xi) = 0)
定理7(拉格朗日中值定理)：设 (f(x)) 满足
- 在 ([a, b]) 上连续，
- 在 ((a, b)) 内可导，
则存在 (\xi \in (a, b))，使得
[
f(b) - f(a) = f’(\xi)(b - a),
]
[
或者写成 f’(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.
]
定理8(柯西中值定理)：设 (f(x))，(g(x)) 满足
- 在 ([a, b]) 上连续，
- 在 ((a, b)) 内可导，
- (g’(x) \neq 0)，
则存在 (\xi \in (a, b))，使得
[
\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f’(\xi)}{g’(\xi)}.
]
物理应用与相关变化率
① 已知质点的运动位移x关于时间t的函数为 (x = x(t))，则其速度为 (v = \frac{dx}{dt})，其加速度为
[
a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \cdot \frac{dv}{dx}.
]② 若函数 (y = f(x)) 由参数方程 (\begin{cases} y = y(t), \ x = x(t). \end{cases}) 确定且可导，且y对t的变化率与x对t的变化率成正比。则 (\frac{dy}{dt} = ka\frac{dx}{dt})
第三章 一元函数积分学
基本积分公式
[(1) \int x^k dx = \frac{x^{k + 1}}{k + 1} + C , (k \neq -1).]
[(2) \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C.]
[(3) \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C.]
[\int e^x dx = e^x + C .]
[(4) \int \cos x dx = \sin x + C.]
[\int \sin x dx = -\cos x + C .]
[(5) \int \frac{1}{\sin x} dx = \int \csc x dx = \ln |\csc x - \cot x| + C.]
[\int \frac{1}{\cos x} dx = \int \sec x dx = \ln |\sec x + \tan x| + C .]
[(6) \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = \int \csc^2 x dx = -\cot x + C.]
[\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \int \sec^2 x dx = \tan x + C .]
[(7) \int \tan x dx = -\ln |\cos x| + C.]
[\int \cot x dx = \ln |\sin x| + C .]
[(8) \int \sec x \tan x dx = \sec x + C.]
[\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C .]
[(9) \int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C.]
[\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan x + C .]
[(10) \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin \frac{x}{a} + C.]
[\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \arcsin x + C .]
[(11) \int \frac{1}{a^2 - x^2} dx = \frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a + x}{a - x}\right| + C.]
[\int \frac{1}{1 - x^2} dx = \frac{1}{2} \ln \left|\frac{1 + x}{1 - x}\right| + C .]
[(12) \int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} dx = \ln \left|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}\right| + C.]常见的几种凑微分形式
[(1) \int f(ax + b)dx = \frac{1}{a} \int f(ax + b)d(ax + b) , (a \neq 0)]
[(2) \int f(ax^n + b)x^{n - 1}dx = \frac{1}{na} \int f(ax^n + b)d(ax^n + b) , (a \neq 0)]
[(3) \int f(e^x)e^x dx = \int f(e^x)de^x]
[(4) \int \frac{f\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2} dx = -\int f\left(\frac{1}{x}\right)d\left(\frac{1}{x}\right)]
[(5) \int \frac{f(\ln x)}{x} dx = \int f(\ln x)d(\ln x)]
[(6) \int \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} dx = 2 \int f(\sqrt{x})d(\sqrt{x})]
[(7) \int f(\sin x)\cos x dx = \int f(\sin x)d(\sin x)]
[(8) \int f(\cos x)\sin x dx = -\int f(\cos x)d(\cos x)]
[(9) \int f(\tan x)\sec^2 x dx = \int f(\tan x)d(\tan x)]
[(10) \int f(\cot x)\csc^2 x dx = -\int f(\cot x)d(\cot x)]
[(11) \int \frac{f(\arcsin x)}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \int f(\arcsin x)d(\arcsin x)]
[(12) \int \frac{f(\arctan x)}{1 + x^2} dx = \int f(\arctan x)d(\arctan x)]定积分重要公式(包含区间再现､华里士公式等)
[
\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x)dx.
]
[
\int_{a}^{b} f(x)dx = \frac{1}{2} \int_{a}^{b}[f(x) + f(a + b - x)]dx.
]
[
\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{\frac{a + b}{2}}[f(x) + f(a + b - x)]dx.
]
[
\begin{aligned}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx \
&= \begin{cases}
\frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 3}{n - 2} \cdot \cdots \cdot \frac{2}{3} \cdot 1, & n \text{为大于1的奇数}, \
\frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 3}{n - 2} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{为正偶数}.
\end{cases}
\end{aligned}
]
[
\int_{0}^{\pi} \sin^n x dx = \begin{cases}
2 \cdot \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 3}{n - 2} \cdot \cdots \cdot \frac{2}{3} \cdot 1, & n \text{为大于1的奇数}, \
2 \cdot \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 3}{n - 2} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{为正偶数}.
\end{cases}
]
[
\int_{0}^{\pi} \cos^n x dx = \begin{cases}
0, & n \text{为正奇数}, \
2 \cdot \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 3}{n - 2} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{为正偶数}.
\end{cases}
]
[
\int_{0}^{2\pi} \sin^n x dx = \begin{cases}
0, & n \text{为正奇数}, \
4 \cdot \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 3}{n - 2} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{为正偶数}.
\end{cases}
]
[
\int_{0}^{2\pi} \cos^n x dx = \int_{0}^{2\pi} \sin^n x dx = \begin{cases}
0, & n \text{为正奇数}, \
4 \cdot \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 3}{n - 2} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{为正偶数}.
\end{cases}
]
[
\int_{0}^{\pi} x f(\sin x)dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x)dx.
]
[
\int_{0}^{\pi} x f(\sin x)dx = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x)dx.
]
[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x)dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x)dx.
]
[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x, \cos x)dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x, \sin x)dx.
]
[
\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{-\frac{b - a}{2}}^{\frac{b - a}{2}} f\left(\frac{a + b}{2} + \frac{b - a}{2} \sin t\right) \cdot \frac{b - a}{2} \cos t dt.
]
[
\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{0}^{1}(b - a)f[a + (b - a)t]dt.
]
[
\int_{-a}^{a} f(x)dx = \int_{0}^{a}[f(x) + f(-x)]dx , (a > 0).
]常见反常积分及判敛
[(1) \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx\begin{cases} 收敛, & p > 1 \ 发散, & p \leq 1\end{cases}, \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln^p x} dx\begin{cases} 收敛, & p > 1 \ 发散, & p \leq 1 \end{cases}]
[(2) \int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} dx\begin{cases} 收敛, & p < 1 \ 发散, & p \geq 1\end{cases} .]
③ (\int_{1}^{+\infty} x^k e^{-px} dx)，k为任意常数且 (p > 0) 时均收敛。
④ (\int_{0}^{1} \frac{\ln^k x}{x^p} dx)，k为任意常数且 (p < 1) 时均收敛。定积分的精确定义(和式极限)
[
\int_{a}^{b} f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(a + \frac{b - a}{n}i\right) \frac{b - a}{n}.
]变限积分求导公式
[(1) \left[\int_{a}^{\varphi(x)} f(t)dt\right]{x}’ = f[\varphi(x)] \cdot \varphi’(x).]
[(2) \left[\int{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(t)dt\right]_{x}’ = f\left[\varphi_2(x)\right] \cdot \varphi_2’(x) - f\left[\varphi_1(x)\right] \varphi_1’(x).]积分的不等式
保号性
[
f(x) \leq g(x) \Rightarrow \int_{a}^{b} f(x)dx \leq \int_{a}^{b} g(x)dx, b > a.
]
估值定理
[
m \leq f(x) \leq M \Rightarrow m(b - a) \leq \int_{a}^{b} f(x)dx \leq M(b - a), b > a.
]
绝对值不等式
[
\left|\int_{a}^{b} f(x)dx\right| \leq \int_{a}^{b}|f(x)|dx, b > a.
]
柯西不等式：设函数 (f(x))，(g(x)) 在 ([a, b]) 上连续，则
[
\left(\int_{a}^{b} f(x)g(x)dx\right)^2 \leq \int_{a}^{b} f^2(x)dx \int_{a}^{b} g^2(x)dx.
]面积
(1) 直角坐标系下的面积公式：(S = \int_{a}^{b}|f_1(x) - f_2(x)|dx)
(2) 极坐标系下的面积公式：(S = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2}|r_2^2(\theta) - r_1^2(\theta)|d\theta)
(3) 曲边由参数方程 (\begin{cases} x = x(t), \ y = y(t). \end{cases}) 给出的曲边梯形的面积为 (S = \int_{a}^{b} y dx \xlongequal{x = x(t)} \int_{\alpha}^{\beta} y(t) \cdot x’(t)dt)旋转体体积
平面图形由曲线 (y = y(x)) 与直线 (x = a)，(x = b) 和x轴围成，则- 绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积 (V_x = \pi \int_{a}^{b} y^2(x)dx)
- 绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积 (V_y = 2\pi \int_{a}^{b} x|y(x)|dx)
二重积分法
旋转体的体积的一般问题是平面域D绕直线 (L: ax + by + c = 0)（该直线不穿过区域D）旋转所得旋转体体积，记该体积为V。解决该问题利用二重积分比利用一元定积分的元素法方便。在区域D中取一小区域 ((d\sigma))，其面积记为 (ds)，((x, y)) 为区域 ((d\sigma)) 中的任一点，则该小区域绕直线L旋转所得环状体的体积近似值为
[
dV = 2\pi r(x, y)d\sigma,
]
其中 (r(x, y)) 为点 ((x, y)) 到直线L的距离，即 (r(x, y) = \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}) 则
[
V = 2\pi \iint_{D} r(x, y)d\sigma.
]极坐标系下旋转体体积
平面图形 (D = {(r, \theta) | 0 \leq r \leq r(\theta)})，(\theta \in [\alpha, \beta] \subset [0, \pi])，则D绕极轴旋转一周所得旋转体体积为
[
V = \frac{2}{3}\pi \int_{\alpha}^{\beta} r^3(\theta) \sin \theta d\theta.
]旋转曲面面积(侧面积)
(1) 曲线 (y = y(x)) 在区间 ([a, b]) 上的曲线弧段绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积为
[
S = 2\pi \int_{a}^{b}|y(x)| \sqrt{1 + [y’(x)]^2}dx.
](2) 曲线 (r = r(\theta)) 在区间 ([\alpha, \beta]) 上的曲线弧段绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积为
[
S = 2\pi \int_{\alpha}^{\beta}|r(\theta) \sin \theta| \sqrt{[r(\theta)]^2 + [r’(\theta)]^2}d\theta.
](3) 曲线 (x = x(t))，(y = y(t)(\alpha \leq t \leq \beta, x’(t) \neq 0)) 在区间 ([\alpha, \beta]) 上的曲线弧段绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积为
[
S = 2\pi \int_{\alpha}^{\beta}|y(t)| \sqrt{[x’(t)]^2 + [y’(t)]^2}dt.
]平面曲线弧长公式
(1) 若平面光滑曲线由直角坐标方程 (y = y(x)(a \leq x \leq b)) 给出，则
[
s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [y’(x)]^2}dx.
](2) 若平面光滑曲线由极坐标方程 (r = r(\theta)(\alpha \leq \theta \leq \beta)) 给出，则
[
s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{[r(\theta)]^2 + [r’(\theta)]^2}d\theta.
](3) 若平面光滑曲线由参数方程 (\begin{cases} x = x(t), \ y = y(t) \end{cases} (\alpha \leq t \leq \beta)) 给出，则
[
s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{[x’(t)]^2 + [y’(t)]^2}dt.
]质心形心公式
质心 ((\bar{x}, \bar{y})) 或 ((\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})) 曲线L的线密度为(\rho) (\bar{x} = \frac{\int_{L} x \rho ds}{\int_{L} \rho ds}, \bar{y} = \frac{\int_{L} y \rho ds}{\int_{L} \rho ds}) 平面图形D的面密度为(\rho(x, y)) (\bar{x} = \frac{\iint_{D} x \rho(x, y)dxdy}{\iint_{D} \rho(x, y)dxdy})，(\bar{y} = \frac{\iint_{D} y \rho(x, y)dxdy}{\iint_{D} \rho(x, y)dxdy}) 空间区域(\Omega)的体密度函数为(\mu(x, y, z)) (\bar{x} = \frac{\iiint_{\Omega} x \mu(x, y, z)dxdydz}{\iiint_{\Omega} \mu(x, y, z)dxdydz})，(\bar{y} = \frac{\iiint_{\Omega} y \mu(x, y, z)dxdydz}{\iiint_{\Omega} \mu(x, y, z)dxdydz})，(\bar{z} = \frac{\iiint_{\Omega} z \mu(x, y, z)dxdydz}{\iiint_{\Omega} \mu(x, y, z)dxdydz}) 【注】密度均匀(即密度为一常数C)的物体的质心即为形心
平均值
[
\overline{f} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x)dx.
]物理应用
变力沿直线做功
设方向沿x轴正向的力函数为 (F(x)(a \leq x \leq b))，则物体沿x轴从点a移动到点b时，变力 (F(x)) 所做的功为
[
W = \int_{a}^{b} F(x)dx,
]
功的元素 (dW = F(x)dx)。抽水做功
将容器中的水全部抽出所做的功为
[
W = \rho g \int_{a}^{b} x A(x)dx,
]
其中(\rho)为水的密度，g为重力加速度.
功的元素 (dW = \rho g x A(x)dx) 为位于x处厚度为(dx)，水平截面面积为(A(x))的一层水被抽出(路程为x)所做的功。水压力
垂直浸没在水中的平板(ABCD)的一侧受到的水压力为
[
P = \rho g \int_{a}^{b} x[f(x) - h(x)]dx,
]
其中(\rho)为水的密度，g为重力加速度.
压力元素
[
dP = \rho g x[f(x) - h(x)]dx,
]
即图中矩形条所受到的压力。x表示水深，(f(x) - h(x))是矩形条的宽度，(dx)是矩形条的高度.
第四章 微分方程
可分离变量方程
[
f_1(x)g_1(y)dx + f_2(x)g_2(y)dy = 0,
]
分离变量两边同除 (g_1(y)f_2(x) \neq 0)，得 (\frac{f_1(x)}{f_2(x)}dx + \frac{g_2(y)}{g_1(y)}dy = 0)，然后两边积分即可。齐次方程
[
y’ = f\left(\frac{y}{x}\right),
]
令 (u = \frac{y}{x})，则 (y = ux)，(y’ = u + x\frac{du}{dx})，于是原方程可化为
[
u + x\frac{du}{dx} = f(u) \Rightarrow \frac{du}{f(u) - u} = \frac{dx}{x} \Rightarrow \int \frac{du}{f(u) - u} = \ln |x| + C.
]
求出积分后，再以 (\frac{y}{x}) 代替u，即得所给齐次方程的通解。一阶线性方程
[
y’ + p(x)y = q(x),
]
求解公式: (y = [\int q(x) e^{\int p(x)dx} dx + C] e^{-\int p(x)dx})全微分方程
[
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \text{为全微分方程} \Leftrightarrow \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
]
[
通解为 u(x, y) = \int_{x_0}^{x} M(x, y_0)dx + \int_{y_0}^{y} N(x, y)dy = C.
]二阶常系数线性微分方程
(y’’ + py’ + qy = 0)，其中p，q均为常数
特征方程: (\lambda^2 + p\lambda + q = 0)，
(1) 当 (\lambda_1)，(\lambda_2) 为互异实根时，微分方程通解为 (y(x) = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x})
(2) 当 (\lambda_1 = \lambda_2) 时，通解为 (y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{\lambda_1 x})
(3) 当 (\lambda = \alpha \pm i\beta) (复根)时，通解为 (y(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x))。二阶常系数线性非齐次方程
(y’’ + py’ + qy = f(x))，其中p，q均为常数
通解的求解步骤:
(1) 求对应的齐次方程的通解 (Y(x))
(2) 用待定系数法求出非齐次方程的特解 (y^(x))
(3) 写出非齐次方程的通解为 (y^(x) + Y(x))二阶常系数非齐次线性方程的非齐次项与特解的关系
(y’’ + py’ + qy = f(x)) 特解 (y^*(x)) 的形式 (f(x) = P_n(x) e^{ax}) 其中 (P_n(x)) 为x的n次多项式 a不是特征根, (y^*(x) = R_n(x) e^{ax}) a是特征方程的单根, (y^*(x) = x R_n(x) e^{ax}) a是特征方程的重根, (y^*(x) = x^2 R_n(x) e^{ax}) ((R_n(x)) 为n次多项式的一般形式) (f(x) = P_n(x) e^{\alpha x} \sin \beta x) 或 (f(x) = P_n(x) e^{\alpha x} \cos \beta x) 其中 (P_n(x)) 为n次多项式的一般形式 (y^*(x) = x^k e^{\alpha x}[Q_n(x) \cos \beta x + W_n(x) \sin \beta x]) (\alpha \pm i\beta) 不是特征根, (k = 0) (\alpha \pm i\beta) 是特征根, (k = 1) ((Q_n(x), W_n(x)) 为n次多项式的一般形式) 二阶可降阶微分方程
若是 (y’’)，则
(1) 能写成 (y’’ = f(x, y’)) 或 (y’’ = f(y’))。
① 缺y，令 (y’ = p)，(y’’ = p’)，则原方程变为一阶方程 (\frac{dp}{dx} = f(x, p)) 或 (\frac{dp}{dx} = f(p))
② 若求得其通解为 (p = \varphi(x, C_1))，即 (y’ = \varphi(x, C_1))，则原方程的通解为
[
y = \int \varphi(x, C_1)dx + C_2.
](2) 能写成 (y’’ = f(y, y’))。
① 缺x，令 (y’ = p)，(y’’ = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot p)，则原方程变为一阶方程 (p \frac{dp}{dy} = f(y, p))
② 若求得其通解为 (p = \varphi(y, C_1))，则由 (p = \frac{dy}{dx}) 得 (\frac{dy}{dx} = \varphi(y, C_1))，分离变量得
[
\frac{dy}{\varphi(y, C_1)} = dx;
]
③ 两边积分得 (\int \frac{dy}{\varphi(y, C_1)} = x + C_2)，即可求得原方程的通解。二阶以上的常系数线性齐次微分方程
n阶常系数线性齐次微分方程的一般形式是: (y^{(n)} + p_1 y^{(n - 1)} + p_2 y^{(n - 2)} + \cdots + p_{n - 1} y’ + p_n y = 0)，其中 (p_i(i = 1,2, \cdots, n)) 为常数。相应的特征方程为 (\lambda^n + p_1 \lambda^{n - 1} + p_2 \lambda^{n - 2} + \cdots + p_{n - 1} \lambda + p_n = 0)，
(1) 若特征方程有n个不同的实根 (\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n) 则方程通解 (y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x} + \cdots + C_n e^{\lambda_n x})
(2) 若 (\lambda_0) 为特征方程的k重实根 ((k \leq n)) 则方程通解中含有 ((C_1 + C_2 x + \cdots + C_k x^{k - 1}) e^{\lambda_0 x})
(3) 若 (\alpha \pm i\beta) 为特征方程的k重共轭复根 ((2k \leq n)) 则方程通解中含有
[
e^{\alpha x}\left[(C_1 + C_2 x + \cdots + C_k x^{k - 1}) \cos \beta x + (D_1 + D_2 x + \cdots + D_k x^{k - 1}) \sin \beta x\right].
]
第五章 多元微分
偏导数定义
[
f_x’(x, y) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x};
]
[
f_y’(x, y) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y}.
]可微判定步骤
① 写出全增量 (\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0))
② 写出线性增量 (A\Delta x + B\Delta y)，其中 (A = f_x’(x_0, y_0))，(B = f_y’(x_0, y_0))
③ 作极限 (\lim_{\substack{\Delta x \to 0 \ \Delta y \to 0}} \frac{\Delta z - (A\Delta x + B\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}) 若该极限等于0，则 (z = f(x, y)) 在点 ((x_0, y_0)) 处可微，否则，就不可微.链式求导规则
(1) (\frac{dy}{dx} = \frac{d{f[g(x)]}}{dx} = \frac{d{f[g(x)]}}{d[g(x)]} \cdot \frac{d[g(x)]}{dx})(2) 设 (z = f(u, v))，(u = u(x, y))，(v = v(x, y))，则
[
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}.
](3) 设 (z = f(u, v))，(u = u(t))，(v = v(t))，则
[
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{du}{dt} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{dv}{dt}
]隐函数求导法
设以下所给函数的偏导数均连续.
(1) 一个方程的情形.
设 (F(x, y, z) = 0)，(P_0(x_0, y_0, z_0))，若满足① (F(P_0) = 0)；② (F_z’(P_0) \neq 0)，则在点 (P_0) 的某邻域内可确定 (z = z(x, y))，且有
[
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x’}{F_z’}, \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y’}{F_z’}.
](2) 方程组的情形. (\begin{cases} F(x, y, z) = 0, \ G(x, y, z) = 0, \end{cases}) 当 (\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial y} & \frac{\partial F}{\partial z} \ \frac{\partial G}{\partial y} & \frac{\partial G}{\partial z} \end{vmatrix} \neq 0) 时，可确定 (\begin{cases} y = y(x), \ z = z(x). \end{cases}) 且有
[
\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, z)}}{\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}} = -\frac{\begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial z} \ \frac{\partial G}{\partial x} & \frac{\partial G}{\partial z} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial y} & \frac{\partial F}{\partial z} \ \frac{\partial G}{\partial y} & \frac{\partial G}{\partial z} \end{vmatrix}}, \frac{dz}{dx} = -\frac{\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, x)}}{\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}} = -\frac{\begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial y} & \frac{\partial F}{\partial x} \ \frac{\partial G}{\partial y} & \frac{\partial G}{\partial x} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial y} & \frac{\partial F}{\partial z} \ \frac{\partial G}{\partial y} & \frac{\partial G}{\partial z} \end{vmatrix}}.
]全微分形式不变性
设 (z = f(u, v))，(u = u(x, y))，(v = v(x, y))，如果 (f(u, v))，(u(x, y))，(v(x, y)) 分别有连续偏导数，则复合函数 (z = f(u, v)) 在 ((x, y)) 处的全微分仍可表示为
[
dz = \frac{\partial z}{\partial u}du + \frac{\partial z}{\partial v}dv,
]
即无论u，v是自变量还是中间变量，上式总成立.二元函数取极值的充分条件(无条件极值)
设 (z = f(x, y)) 在点 ((x_0, y_0)) 的某邻域内有连续的二阶偏导数，且
[
f_x’(x_0, y_0) = 0, f_y’(x_0, y_0) = 0; A = f_{xx}’’(x_0, y_0), B = f_{xy}’’(x_0, y_0), C = f_{yy}’’(x_0, y_0).
](1) 若 (AC - B^2 > 0)，则 ((x_0, y_0)) 是 (z = f(x, y)) 的一个极值点，且当 (A > 0) 时，((x_0, y_0)) 为极小值点；当 (A < 0) 时，((x_0, y_0)) 为极大值点.
(2) 若 (AC - B^2 < 0)，则 ((x_0, y_0)) 不是 (z = f(x, y)) 的极值点.
(3) 若 (AC - B^2 = 0)，则无法判定 ((x_0, y_0)) 是否为极值点，此时应考虑利用极值点的定义进行判断.条件极值与拉格朗日乘数法
求目标函数 (u = f(x, y, z)) 在约束条件 (\begin{cases} \varphi(x, y, z) = 0, \ \psi(x, y, z) = 0 \end{cases}) 下的最值的步骤.
① 构造辅助函数 (F(x, y, z, \lambda, \mu) = f(x, y, z) + \lambda \varphi(x, y, z) + \mu \psi(x, y, z))；（辅助函数自变量个数=目标函数自变量个数+约束条件个数）
② 令
[
\begin{cases}
F_x’ = f_x’ + \lambda \varphi_x’ + \mu \psi_x’ = 0, \
F_y’ = f_y’ + \lambda \varphi_y’ + \mu \psi_y’ = 0, \
F_z’ = f_z’ + \lambda \varphi_z’ + \mu \psi_z’ = 0, \
F_\lambda’ = \varphi(x, y, z) = 0, \
F_\mu’ = \psi(x, y, z) = 0;
\end{cases}
]
③ 解上述方程组得备选点 (P_i)，(i = 1,2,3, \cdots, n)，并求 (f(P_i))，取其最大值为 (u_{max})，最小值为 (u_{min})；
④ 根据实际问题，必存在最值，所得即为所求.
第六章 二重积分
几个重要边界曲线
- 心形线：(r = a(1 - \cos\theta))，(r = a(1 + \cos\theta))
- 双纽线：(r^2 = a^2 \cos 2\theta)
- 摆线
- 星形线
- 螺旋线：(r = a\theta)
不同坐标系下的表示
直角坐标系下的二重积分表示: (\iint_{D} f(x, y)d\sigma = \iint_{D} f(x(, y)dxdy .)
极坐标系下的二重积分表示: (\iint_{D} f(x, y)d\sigma = \iint_{D} f(r\cos\theta, r\sin\theta)r dr d\theta .)二重积分的普通对称性
① 如果积分区域(D)关于(x)轴对称,则二重积分
[\iint_{D} f(x, y)d\sigma = \begin{cases} 0, & f(x,-y)=-f(x, y), \ 2 \iint_{D_{1}} f(x, y)d\sigma, & f(x,-y)=f(x, y) . \end{cases}]
其中,(D_{1})为(D)在(y\geq0)的部分.
② 如果积分区域(D)关于(y)轴对称,则二重积分
[\iint_{D} f(x, y)d\sigma = \begin{cases} 0, & f(-x, y)=-f(x, y), \ 2 \iint_{D_{1}} f(x, y)d\sigma, & f(-x, y)=f(x, y) . \end{cases}]
其中,(D_{1})为(D)在(x \geq0)的部分.
③ 如果(D)关于直线(y=x)对称,则
[\iint_{D} f(x, y)d\sigma=\iint_{D} f(y, x)d\sigma=\frac{1}{2} \iint_{D}(f(x, y)+f(y, x))d\sigma .]轮换对称性
若将(D)中的(x),(y)对调后,(D)不变,则有
[I=\iint_{D} f(x, y)dxdy=\iint_{D} f(y, x)dxdy .]和式极限
[\iint_{D} f(x, y)d\sigma=lim {n \to \infty} \sum{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} f\left(a+\frac{b-a}{n} i, c+\frac{d-c}{n} j\right) \cdot \frac{b-a}{n} \cdot \frac{d-c}{n} .]
这里的(D)不是一般的平面有界闭区域,而是一个长方形区域([a, b] \times[c, d]).
线性代数部分
第一章 行列式
行列式的性质
性质1：行列互换,其值不变,即(|A|=|A^{T}|)。
性质2：行列式中某行(列)元素全为零,则行列式为零。
性质3：行列式中的两行(列)元素相等或对应成比例,则行列式为零。
性质4：行列式中某行(列)元素均是两个元素之和,则可拆成两个行列式之和,即
[\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{i 1}+b_{i 1} & a_{i 2}+b_{i 2} & \cdots & a_{m}+b_{m} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{m} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{m n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{m} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ b_{i 1} & b_{2} & \cdots & b_{m} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{m} \end{array}\right| \quad。]
性质5：行列式中两行(列)互换,行列式的值反号。
性质6：行列式中某行(列)元素有公因子(k(k \neq0)),则(k)可提到行列式外面,即
[\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \cdots & k a_{n n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{m} \end{array}\right|=k\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right| \quad。]数字型行列式常用公式
[(1) \left|\begin{array}{cccc}a_{11} & 0 & \cdots & 0 \ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \ 0 & 0 & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \ 0 & 0 & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & 0 & \cdots & 0 \ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n} \quad。]
[\left|\begin{array}{llll} 0 & & \lambda_{1} \ & & \lambda_{2} & \ \lambda_{n} & \ddots & & 0 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{llll} 0 & & & \lambda_{1} \ & & \lambda_{2} & \ & \cdot & \vdots & \vdots \ \lambda_{n} & \cdots & & \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} & \cdots & & \lambda_{1} \ & \cdots & \lambda_{2} \ \vdots & \ddots & & \ \lambda_{n} & & & 0 \end{array}\right|=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{n} \quad。]
(2) 设(A)是(m)阶方阵,(B)是(n)阶方阵,则
[(1) \left|\begin{array}{ll}A & O \ O & B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}A & O \ C & B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}A & C \ O & B\end{array}\right|=|A||B| \quad。]
[(2) \left|\begin{array}{ll}O & A \ B & O\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}O & A \ B & C\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}C & A \ B & O\end{array}\right|=(-1)^{m n}|A||B| \quad。]
[(3) 范德蒙行列式 D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \ x_{1} & x_{2} & x_{3} & \cdots & x_{n} \ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} & \cdots & x_{n}^{2} \ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & x_{3}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1}\end{array}\right|=\prod_{1 \leq j<i \leq n}\left(x_{i}-x_{j}\right) \quad。]抽象型行列式的常用公式
设(A),(B)为(n)阶方阵,则
[(1) \left|A^{T}\right|=|A| \quad。]
[(2) |\lambda A|=\lambda^{n}|A| \quad。]
[(3) |A B|=|B A|=|A||B|,\left|A^{k}\right|=|A|^{k} \quad。]
(4) (|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}) (若(A)可逆)
[(5) \left|A^{*}\right|=|A|^{n-1}(n \geq 2) \quad。]
(6) (|A|=\lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{n}),其中(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n})是(A)的(n)个特征值。
(7) 若(A)与(B)相似,则(|A|=|B|)。
第二章 矩阵
矩阵的运算
(1) 矩阵的加法运算
设(A),(B)是(m\times n)的同型矩阵(只有同型矩阵才能作加法)。
[A+B=B+A \quad。]
[(A+B)+C=A+(B+C) \quad。]
[A+O=A \quad。]
[A+(-A)=0 \quad。]
(2) 矩阵的数乘(以下(k),(\ell)为任意常数)
[k(l A)=(k l) A=l(k A),(k+l) A=k A+l A \quad。]
[k(A+B)=k A+k B, 1 A=A, 0 A=O \quad。]
(3) 矩阵的乘法
[(A B) C=A(B C), A(B+C)=A B+A C \quad。]
[(A+B) C=A C+B C \quad。]矩阵转置的运算规律
[(1) \left(A^{T}\right)^{T}=A \quad。]
[(2) (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T} \quad。]
[(3) (\lambda A)^{T}=\lambda A^{T} \quad。]
[(4) (A B)^{T}=B^{T} A^{T} \quad。]伴随矩阵的性质
[(1) A A^{}=A^{} A=|A| E \quad。]
[(2) (k A)^{}=k^{n-1} A^{}(n \geq 2) \quad。]
[(3) (A B)^{}=B^{} A^{} \quad。]
[(4) \left|A^{}\right|=|A|^{n-1}(n \geq 2) \quad。]
[(5) \left(A^{}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{}=\frac{1}{|A|} A \quad。]
[(6) \left(A^{}\right)^{\top}=\left(A^{T}\right)^{} \quad。]
[(7) \left(A^{}\right)^{}=|A|^{n-2} A(n \geq 3) \quad。]
【注】一般地,((A+B)^{} \neq A^{}+B^{*})。可逆与不可逆的充分必要条件
(1) (n)阶矩阵(A)可逆(\Leftrightarrow|A| \neq0)
[\Leftrightarrow A B=E , (或 B A=E) \quad。]
[\Leftrightarrow r(A)=n \quad。]
(\Leftrightarrow A^{*})可逆(\Leftrightarrow A)可以表示为若干初等矩阵的乘积(\Leftrightarrow A)与(E)等价(\Leftrightarrow A x=0)只有零解(\Leftrightarrow \forall b),(A x=b)有唯一解(\Leftrightarrow A)的列(行)向量组线性无关(\Leftrightarrow A)的特征值都不为0。
(2) (n)阶矩阵(A)不可逆(\Leftrightarrow|A|=0)
[\Leftrightarrow r(A)<n \quad。]
(\Leftrightarrow A x=0)有非零解(\Leftrightarrow A)的列(行)向量组线性相关(\Leftrightarrow0)是(A)的特征值。可逆矩阵的性质
(1) 若(A)可逆,则(A^{-1})亦可逆,且((A^{-1})^{-1}=A)。
(2) 若(A)可逆,则(k A(k \neq0))亦可逆,且((k A)^{-1}=\frac{1}{k} A^{-1})。
(3) 若(A),(B)可逆,则(A B)亦可逆,且((A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1})。
(4) 若(A)可逆,则(A^{T})亦可逆,且((A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T})
[(5) \left|A^{-1}\right|=\frac{1}{|A|} \quad。]
【注】一般地,((A+B)^{-1} \neq A^{-1}+B^{-1})。求逆的方法
(1) 定义法:若(A B=E),则(A^{-1}=B)。
(2) 伴随矩阵法：(A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*})。
(3) 初等变换法: ((A ; E) \stackrel{\text { 行变换 }}{\to }(E ; A^{-1}))。
(4) 分块矩阵求逆法:
[(1) \left(\begin{array}{ll}A & O \ O & B\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc}A^{-1} & O \ O & B^{-1}\end{array}\right) \quad。]
[(2) \left(\begin{array}{ll}O & A \ B & O\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc}O & B^{-1} \ A^{-1} & O\end{array}\right) \quad。]初等矩阵的性质
[(1) \left|E_{i j}\right|=-1,\left|E_{i j}(k)\right|=1,\left|E_{i}(k)\right|=k \quad。]
[(2) E_{i j}^{T}=E_{i j}, E_{i j}^{T}(k)=E_{j i}(k), E_{i}^{T}(k)=E_{i}(k) \quad。]
[(3) E_{i j}^{-1}=E_{i j}, E_{i j}^{-1}(k)=E_{i j}(-k), E_{i}^{-1}(k)=E_{i}\left(\frac{1}{k}\right) \quad。]
[(4) E_{i j}^{}=\left|E{i j}\right| E_{i j}^{-1}=-E_{i j} \quad。]
[E_{i j}^{}(k)=\left|E{i j}(k)\right| E_{i j}^{-1}(k)=E_{i j}(-k) \quad。]
[E_{i}^{*}(k)=\left|E_{i}(k)\right| E_{i}^{-1}(k)=k E_{i}\left(\frac{1}{k}\right) \quad。]矩阵方程的公式利用
[(1) A A^{}=|A| E, A 可逆时, A^{}=|A| A^{-1},\left(A^{}\right)^{}=|A|^{n-2} A(n \geq 2) \quad。]
[(2) A^{2}-E=(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E), A^{3}-E=(A-E)(A^2+A+E) \quad。]
[(3) A^{T} B^{T}=(B A)^{T}, A, B 可逆时, A^{-1} B^{-1}=(B A)^{-1}, A^{} B^{}=(B A)^{} \quad。]
④(A)可逆时,((A^{-1})^{}=(A^{})^{-1}),((A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}),((A^{})^{T}=(A^{T})^{*})。矩阵等价
如果矩阵(A)经有限次初等变换变成矩阵(B),则称矩阵(A)与(B)等价。
(A)与(B)等价(\Leftrightarrow)存在可逆阵(P)及(Q),使(P A Q=B)(\Leftrightarrow A),(B)同型,且(r(A)=r(B))。分块矩阵的相关公式
① 同型且分块一致,则(\begin{bmatrix}A_{1} & A_{2}\A_{3} & A_{4}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}B_{1} & B_{2}\B_{3} & B_{4}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_{1}+B_{1} & A_{2}+B_{2}\A_{3}+B_{3} & A_{4}+B_{4}\end{bmatrix})
[(2) 数乘: k\left[\begin{array}{ll}A & B \ C & D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}k A & k B \ k C & k D\end{array}\right] \quad。]
③ 乘法: (\begin{bmatrix}A & B\C & D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X & Y\Z & W\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}AX+BZ & AY+B W\CX+DZ & CY+D W\end{bmatrix}),要可乘、可加。
④ 若(A),(B)分别为(m),(n)阶方阵,则分块对角矩阵的幂为
[\left[\begin{array}{ll} A & O \ O & B \end{array}\right]^{k}=\left[\begin{array}{ll} A^{k} & O \ O & B^{k} \end{array}\right] \quad。]
⑤ 已知(A=\begin{bmatrix}B & O\D & C\end{bmatrix})其中(B)是(r)阶可逆矩阵，(C)是(s)阶可逆矩阵，则(A)可逆，且
[A^{-1}=\left[\begin{array}{cc} B^{-1} & O \ -C^{-1} D B^{-1} & C^{-1} \end{array}\right] \quad。]
【注】若
[A_{1}=\left[\begin{array}{ll}B & D \ O & C\end{array}\right], A_{2}=\left[\begin{array}{ll}O & B \ C & D\end{array}\right], A_{3}=\left[\begin{array}{ll}D & B \ C & O\end{array}\right] \quad。]
其中(B),(C)可逆,则有
[A_{1}^{-1}=\left[\begin{array}{cc} B^{-1} & -B^{-1} D C^{-1} \ O & C^{-1} \end{array}\right], A_{2}^{-1}=\left[\begin{array}{cc} -C^{-1} D B^{-1} & C^{-1} \ B^{-1} & O \end{array}\right], A_{3}^{-1}=\left[\begin{array}{cc} O & C^{-1} \ B^{-1} & -B^{-1} D C^{-1} \end{array}\right] \quad。]
(A=\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots&A_{n}\end{bmatrix})
[A^{-1}=\left[\begin{array}{llll} A_{1}^{-1} & & & \ & A_{2}^{-1} & & \ & & \ddots & \ & & & A_{s}^{-1} \end{array}\right] \quad。]
副对角线分块矩阵
[A=\left[\begin{array}{llll} & & & & A_{1} \ & & A_{2} & \ & \because & & \ A_{1} & & & \end{array}\right] \quad。]
若(A_i(i=1,2,\cdots,s))均可逆,则(A)可逆,且
[A^{-1}=\left[\begin{array}{llll} & & & A_{s}^{-1} \ & & \cdot & \ & A_{2}^{-1} & & \ A_{1}^{-1} & & & \end{array}\right] \quad。]关于矩阵的秩的公式
[(1) 0 \leq r\left(A_{m \times n}\right) \leq \min {m, n} \quad。]
[(2) r(k A)=r(A)(k \neq 0) \quad。]
[(3) r(A)=r(P A)=r(A Q)=r(P A Q) \quad。]
[(4) r(A B) \leq \min {r(A), r(B)} \quad。]
[(5) r(A+B) \leq r([A, B]) \leq r(A)+r(B) \quad。]
[(6) r\left(\left[\begin{array}{ll}A & O \ O & B\end{array}\right]\right)=r(A)+r(B) \quad。]
[(7) r(A)+r(B) \leq r\left(\left[\begin{array}{ll}A & O \ C & B\end{array}\right]\right) \leq r(A)+r(B)+r(C) \quad。]
[(8) r(A B) \geq r(A)+r(B)-n \quad。]
[(9) r(A)=r\left(A^{T}\right)=r\left(A A^{T}\right)=r\left(A^{T} A\right) \quad。]
[(10) r\left(A^{*}\right)= \begin{cases}n, & r(A)=n \ 1, & r(A)=n-1 \ 0, & r(A)<n-1\end{cases} \quad。]
⑪ 若(A^{2}=A),则(r(A)+r(A-E)=n)。
⑫ 若(A^{2}=E),则(r(A+E)+r(A-E)=n)。
⑬ (A x=0)的基础解系所含向量的个数(s=n-r(A))。
⑭ 若(A \sim \Lambda),则(n_{i}=n-r(\lambda_{i} E-A)),其中(\lambda_{i})是(n_{i})重特征根。
⑮ 若(A \sim \Lambda),则(r(A))等于非零特征值的个数,重根按重数算。
第三章 向量组
线性表示
(1) 向量(\beta)可由(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m})线性表示
定义：存在数(k_{1},k_{2},\cdots,k_{m}),使(\beta=k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots+k_{m}\alpha_{m})(\Leftrightarrow)线性方程组(x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}+\cdots+x_{m}\alpha_{m}=\beta)有解(\Leftrightarrow r(A)=r(A,\beta)),其中(A=(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}))。
(2) 向量组(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{t})可由(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m})线性表示
定义(\Leftrightarrow \beta_{j})能由(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m})线性表示,(j = 1,2,\cdots,t)(\Leftrightarrow r(A)=r(A,B)),其中(A=(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m})),(B=(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{t}))。
(3) 向量组(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m})与(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{t})等价
定义(\Leftrightarrow \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m})与(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{t})能互相线性表示(\Leftrightarrow r(A)=r(B)=r(A,B)),其中(A=(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m})),(B=(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{t}))(\Leftrightarrow \beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{t})可由(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m})线性表示,且(r(A)=r(B))。线性相关性
(1) 线性相关
(n)维向量组(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m})线性相关
定义：存在一组不全为0的数(k_{1},k_{2},\cdots,k_{m}),使(k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots+k_{m}\alpha_{m}=0)(\Leftrightarrow)齐次线性方程组(x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}+\cdots+x_{m}\alpha_{m}=0)有非零解(\Leftrightarrow)至少有一个向量可由其余向量线性表示
[\Leftrightarrow r\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right)<m \quad。]
[\Leftrightarrow\left|\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right|=0 \quad。]
(2) 线性无关
(n)维向量组(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m})线性无关
定义：若(k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots+k_{m}\alpha_{m}=0),则必有(k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{m}=0)(\Leftrightarrow)齐次线性方程组(x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}+\cdots+x_{m}\alpha_{m}=0)只有零解(\Leftrightarrow)任一向量都不能由其余向量线性表示
[\Leftrightarrow r\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right)=m \quad。]
[\Leftrightarrow\left|\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right| \neq 0 \quad。]线性相关常用结论
(1) 如果向量组(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m})中有一部分向量线性相关,则整个向量组也线性相关;若整个向量组线性无关,则部分向量组也线性无关(简记为:部分相关,整体相关;整体无关,部分无关)。
(2) 如果(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m})线性无关,则(\begin{pmatrix}\alpha_{1}\\beta_{1}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\alpha_{2}\\beta_{2}\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}\alpha_{m}\\beta_{m}\end{pmatrix})线性无关;反之,若(\begin{pmatrix}\alpha_{1}\\beta_{1}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\alpha_{2}\\beta_{2}\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}\alpha_{m}\\beta_{m}\end{pmatrix})线性相关,则(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m})线性相关(简记为:低维无关,高维无关;高维相关,低维相关)。
(3) 若向量组(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r})线性无关,而(\beta,\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r})线性相关,则(\beta)可由(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r})线性表示,且表示法唯一。
(4) 若向量组(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{t})可由(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s})线性表示,且(t>s),则(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{t})线性相关(多的能由少的线性表示,则多的必线性相关)。
若向量组(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{t})可由(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s})线性表示,且(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{t})线性无关,则(t \leq s) (无关向量组不能由比它个数少的向量组表出)。
(5) (n + 1)个(n)维向量必相关。线性方程组解的个数
(1) (n)元线性方程组(A x = b)
[(1)无解 \Leftrightarrow r(A)<r(A, b) \quad。]
[(2)有唯一解 \Leftrightarrow r(A)=r(A, b)=n \quad。]
[(3)有无穷多解 \Leftrightarrow r(A)=r(A, b)<n \quad。]
(2) (n)元齐次线性方程组(A x = 0)
[(1)只有零解 \Leftrightarrow r(A)=n \quad。]
[(2)有非零解 \Leftrightarrow r(A)<n \quad。]向量组等价
(1) 若向量组(I)可由向量组(II)线性表示,则
[r(I) \leq r(II) \quad。]
(2) 若向量组(I)可由向量组(II)线性表示,但向量组(II)不可由向量组(I)线性表示,则
[r(I)<r(II) \quad。]
(3) 若向量组(I)可由向量组(II)线性表示,且向量组(II)也可由向量组(I)线性表示,即向量组(I)和(II)等价,则
[r(I)=r(II)=r(I, II) \quad。]
(4) 若向量组(I)可由向量组(II)线性表示,且(r(I)=r(II)),则向量组(I)和(II)等价。
(5) 若向量组(I)可由向量组(II)线性表示,且向量组(I)中向量的个数大于向量组(II)中向量的个数,则向量组(I)必定线性相关(简记为”以少表多,多必相关”)。
第四章 线性方程组
线性方程组解的性质
① 若(\xi_{1}),(\xi_{2})是(A x = 0)的解,则(\xi_{1}+\xi_{2})也是(A x = 0)的解。
② 若(\xi)是(A x = 0)的解,(k \in R),则(k \xi)也是(A x = 0)的解。
③ 若(\eta_{1}),(\eta_{2})是(A x = b)的解,则(\eta_{1}-\eta_{2})是对应的齐次线性方程组(A x = 0)的解。
④ 若(\eta)是(A x = b)的解,(\xi)是(A x = 0)的解,则(\xi+\eta)是(A x = b)的解。
⑤ 若(\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t})是(A x = b)的解,则
当(k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{t}=0)时,(k_{1}\eta_{1}+k_{2}\eta_{2}+\cdots+k_{t}\eta_{t})是(A x = 0)的解。
当(k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{t}=1)时,(k_{1}\eta_{1}+k_{2}\eta_{2}+\cdots+k_{t}\eta_{t})是(A x = b)的解。线性方程组解的结构
(1) 设(r(A)=r),(\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n-r})是齐次线性方程组(A x = 0)的一个基础解系,则(A x = 0)的通解为
[x=k_{1} \xi_{1}+k_{2} \xi_{2}+\cdots+k_{n-r} \xi_{n-r}\left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n-r} 是任意常数 \right) \quad。]
(2) 设(\eta^{})是(Ax = b)的一个特解，(\xi{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n - r})是对应的齐次线性方程组(Ax=0)的一个基础解系，则(Ax = b)的通解为
[x=k_{1} \xi_{1}+k_{2} \xi_{2}+\cdots+k_{n - r} \xi_{n - r}+\eta^{}\left(k{1}, k_{2}, \cdots, k_{n - r}\text{是任意常数}\right)]克拉默法则
如果线性方程组(\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\vdots\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=b_{n}\end{cases})的系数行列式(D=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\vdots&&\vdots\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\neq0)，那么它有唯一解：
[x_{1}=\frac{D_{1}}{D},x_{2}=\frac{D_{2}}{D},\cdots,x_{n}=\frac{D_{n}}{D}]
其中(D_{j}(j = 1,2,\cdots,n))是把系数行列式(D)中第(j)列用常数项代替后所得的(n)阶行列式。同解方程组
若两个方程组(A_{m\times n}x = 0)和(B_{s\times n}x=0)有完全相同的解，则称它们为同解方程组。
于是，(Ax = 0)，(Bx = 0)是同解方程组(\Leftrightarrow Ax = 0)的解满足(Bx=0)，且(Bx = 0)的解满足(Ax = 0)（互相把解代入求出结果即可）(\Leftrightarrow r(A)=r(B))，且(Ax = 0)的解满足(Bx = 0)（或(Bx = 0)的解满足(Ax=0)）
[\Leftrightarrow r(A)=r(B)=r\left(\begin{bmatrix}A\B\end{bmatrix}\right)\text{（三秩相同）}]
第五章 特征值与特征向量
- 特征值与特征向量的性质
(1) 设(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n})是(n)阶方阵(A)的(n)个特征值，则
[(1)\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}]
[(2)\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{n}=|A|]
(2) 矩阵(A)对应于不同特征值的特征向量线性无关。
(3) 矩阵(A)的(k)重特征值(\lambda)至多有(k)个线性无关的特征向量。特别地，当(A)有(n)个不同的特征值时（没有重根），(A)有(n)个线性无关的特征向量。
(4) 设(n)阶方阵(A)的特征值为(\lambda)，(A)的属于特征值(\lambda)的特征向量为(\alpha)，则
| (A) | (A + kE) | (kA) | (A^{k}) | (f(A)) | (A^{-1}) | (A^{*}) | (A^{T}) | (P^{-1}AP) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (\lambda) | (\lambda + k) | (k\lambda) | (\lambda^{k}) | (f(\lambda)) | (\lambda^{-1}) | (\frac{ | A | }{\lambda}) |
| (\alpha) | (\alpha) | (\alpha) | (\alpha) | (\alpha) | (\alpha) | (\alpha) | 不确定 | (P^{-1}\alpha) |
- 矩阵相似的性质与重要结论
(A)与(B)相似(\Rightarrow A)与(B)有相同的特征多项式，即(|A-\lambda E|=|B - \lambda E|)(\Rightarrow A)与(B)有完全相同的特征值（但是特征向量不一定相同）(\Rightarrow\sum a_{ii}=\sum b_{ii})(\Rightarrow A)与(B)等价，(r(A)=r(B))(\Rightarrow A)与(B)相似，(A^{-1})与(B^{-1})相似。
重要结论：
[(1)A\sim B\Rightarrow A^{T}\sim B^{T},A^{-1}\sim B^{-1},A^{}\sim B^{}\text{（后面两个要求}A\text{可逆）}]
[(2)A\sim B\Rightarrow A^{m}\sim B^{m},f(A)\sim f(B)]
[(3)A\sim B,B\sim\Lambda\Rightarrow A\sim\Lambda]
[(4)A\sim\Lambda,B\sim\Lambda\Rightarrow A\sim B]
[(5)A\sim C,B\sim D\Rightarrow\begin{bmatrix}A&O\O&B\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}C&O\O&D\end{bmatrix}]
- 矩阵可相似对角化的条件
充要条件：
[(1)A\text{有}n\text{个线性无关的特征向量}\Leftrightarrow A\sim\Lambda]
[(2)n_{i}=n - r(\lambda_{i}E - A)\Leftrightarrow A\sim\Lambda]
充分条件：
[(1)A\text{是实对称矩阵}\Rightarrow A\sim\Lambda]
[(2)A\text{有}n\text{个互异特征值}\Rightarrow A\sim\Lambda]
[(3)A^{2}=A\Rightarrow A\sim\Lambda]
[(4)A^{2}=E\Rightarrow A\sim\Lambda]
[(5)r(A)=1\text{且}\text{tr}(A)\neq0\Rightarrow A\sim\Lambda]
必要条件：
[A\sim\Lambda\Rightarrow r(A)=\text{非零特征值的个数（重根按重数算）}]
否定条件：
(1)(A\neq O,A^{k}=O)（(k)为大于1的整数）(\Rightarrow A)不可相似对角化
(2)(A)的特征值全为(k)但(A\neq kE\Rightarrow A)不可相似对角化
对角化的步骤
(1) 求出(A)的特征值(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n})
(2) 求出(A)的(n)个线性无关的特征向量(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})；
(3) 令(P=(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}))，(\Lambda=\begin{bmatrix}\lambda_{1}&&0\& \lambda_{2}&\0&&\ddots&\&&&\lambda_{n}\end{bmatrix})，则(P^{-1}AP=\Lambda)正交矩阵相关结论
(1) 若(A)为正交矩阵，则
[
\begin{aligned}
A^{T}A = E&\Leftrightarrow A^{-1}=A^{T}\
&\Leftrightarrow A\text{的列（行）向量组是规范正交基}\
&\Leftrightarrow A^{T}\text{是正交矩阵}\
&\Leftrightarrow -A\text{是正交矩阵}
\end{aligned}
]
(2) 若(A)，(B)为同阶正交矩阵，则(AB)为正交矩阵，但(A + B)不一定为正交矩阵。
(3) 若(A)为正交矩阵，则其实特征值的取值范围为({-1,1})。
第六章 二次型
- 标准正交化
将一线性无关的向量组（以(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})为例）化为标准正交向量组的方法：
步骤1. 施密特正交化：
[\beta_{1}=\alpha_{1}]
[\beta_{2}=\alpha_{2}-\frac{(\alpha_{2},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}]
[\beta_{3}=\alpha_{3}-\frac{(\alpha_{3},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}-\frac{(\alpha_{3},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2}]
步骤2. 规范化（单位化）：
[\gamma_{1}=\frac{\beta_{1}}{|\beta_{1}|},\gamma_{2}=\frac{\beta_{2}}{|\beta_{2}|},\gamma_{3}=\frac{\beta_{3}}{|\beta_{3}|}]
正交相似对角化的步骤
(1) 求出对称阵(A)的特征值(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n})
(2) 求出(A)的(n)个线性无关的特征向量(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})
(3) 将(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})正交化和单位化，得到(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n})；
(4) 令(Q=(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}))，则(Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda)化二次型为标准型的方法
(1) 正交变换法
① 写出二次型(f)的矩阵(A)；
② 求出(A)的特征值(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n})
③ 求出(A)的(n)个线性无关的特征向量(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})
④ 将(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})正交化和单位化，得正交规范向量组(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n})
⑤ 构造正交阵(Q=(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}))，令(x = Qy)，得二次型的标准形(f=\lambda_{1}y_{1}^{2}+\lambda_{2}y_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n}y_{n}^{2})
(2) 配方法
① 设二次型中含有平方项，不妨设包含(x_{1}^{2})项，即系数(a_{11}\neq0)，则对所有含(x_{1})的项配方，配方后余下各项不再含(x_{1})，再对所有含(x_{2})的项配方，……，直至所有项都在各自完全平方项中，引入新变量(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n})，由(y = C^{-1}x)，得(f=k_{1}y_{1}^{2}+k_{2}y_{2}^{2}+\cdots+k_{n}y_{n}^{2})；
② 若二次型中不含平方项，但有混合项，不妨设有(x_{1}x_{2})项，即系数(a_{12}\neq0)，则可令(x_{1}=y_{1}+y_{2})，(x_{2}=y_{1}-y_{2})，(x_{3}=y_{3})，……，(x_{n}=y_{n})，经此变换，二次型中出现平方项(a_{12}y_{1}^{2}-a_{12}y_{2}^{2})，再按步骤(1)进行配方。
- 相似与合同
【判断相似】
(1) 若(P^{-1}AP = B)，则(A)与(B)相似。
(2) 若(A)与(B)相似，(B)与(C)相似，则(A)与(C)相似。
(3) 设(A)与(B)均可相似对角化，则(A)与(B)相似(\Leftrightarrow A)与(B)有完全相同的特征值。
【判断合同】
(1) 若(C^{T}AC = B)，则(A)与(B)合同。
(2) 若(A)与(B)合同，(B)与(C)合同，则(A)与(C)合同。
(3) 实对称矩阵(A)与(B)合同(\Leftrightarrow A)与(B)有相同的正、负惯性指数。
【相似与合同的关系】
(1) 普通矩阵相似不一定合同，合同也不一定相似。
(2) 实对称矩阵相似一定合同。
正定的充要条件
(f(x)=x^{T}Ax)为正定二次型（或对称阵(A)为正定矩阵）的充分必要条件有：
① 对任何(x\neq0)，都有(x^{T}Ax>0)；
② (f)的正惯性指数为(n)；
③ 存在可逆矩阵(C)，使得(A = C^{T}C)，即(A)与(E)合同；
④ (A)的所有特征值全为正数；
⑤ (A)的各阶顺序主子式都大于0，即
[a_{11}>0,\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}>0,\cdots,\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}>0]正定的重要结论
① 若(A)正定，则(kA)、(A^{-1})、(A^{*})、(A^{m})、(C^{T}AC)正定（(k>0)，(m)为正整数，(|C|\neq0)）
② 若(A)，(B)正定，则(A + B)正定，(\begin{bmatrix}A&O\O&B\end{bmatrix})正定
③ 若(A)，(B)正定，则(AB)正定的充要条件是(AB = BA)
④ 若(A)正定且是正交矩阵，则(A = E)柯西不等式（24年数一真题考察，非考纲内公式）
设实对称矩阵(A_{n\times n})正定，证明：对于任给的(n)维列向量(\alpha)，(\beta)，均有
[(\alpha^{T}A\alpha)(\beta^{T}A\beta)\geq(\alpha^{T}A\beta)^{2}]
【注】事实上，(A)可放宽至半正定二次型的最值问题
若(A)的特征值大小排序为(\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq\cdots\leq\lambda_{n})，则
[(1)\lambda_{1}x^{T}x\leq x^{T}Ax\leq\lambda_{n}x^{T}x]
② 若(x^{T}x = 1)，则(f_{\text{min}}=\lambda_{1})，(f_{\text{max}}=\lambda_{n})