一、行列式

1.1 行列式的定义（按行展开）

一阶行列式：

$$ D = |a| = a $$

二阶行列式：

$$ D = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix} = ad - bc $$

三阶行列式：

$$ D = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh $$

逆序数

对于一个排列，如果一对数的前面一个数大于后面一个数，那么就称这两个数构成一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数。（冒泡排序的交换次数）

例如：

1.2 4 3 1的逆序数为3，分别是2的逆序数为1（1），4的逆序数为2（2，1），3的逆序数为1（1），1的逆序数为0（无）。

2.1 2 ... n的逆序数为0

3.n n-1 ... 2 1的逆序数为n(n-1)/2。

奇排列：逆序数为奇数
偶排列：逆序数为偶数

对换

对换是指将两个数的位置对调，对换的次数称为对换数。

一个排列对换一次，奇偶性改变一次。
一个排列如果做了偶数次对换，那么它的奇偶性不变。
n级排列的奇排列有n! / 2个，偶排列有n! / 2个。

n阶行列式：

$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ … & … & … & … \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} \\ \end{vmatrix} $$

取n个元素相乘，每行每列各取一个，共有n!种取法，每种取法对应一个乘积，将所有乘积相加，得到行列式的值。 aij 行标i为自然数1,2,…,n，列标j为排列的所有可能的排列，即1,2,…,n的全排列。如果某一项的排列的列标的逆序数为奇数，则该项前面加负号，否则加正号。

下三角行列式

形如：

$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 & … & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & … & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & … & 0 \\ … & … & … & … & … \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & … & a_{nn} \\ \end{vmatrix} $$

对角线以下的元素都为0，称为下三角行列式。

下三角行列式的值等于主对角线（从左上角到右下角）上的元素的乘积。

上三角行列式

形如：

$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & … & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & … & a_{2n} \\ 0 & 0 & a_{33} & … & a_{3n} \\ … & … & … & … & … \\ 0 & 0 & … & 0 & a_{nn} \\ \end{vmatrix} $$

对角线以上的元素都为0，称为上三角行列式。上三角行列式的值等于主对角线（从左上角到右下角）上的元素的乘积。

对角形行列式

形如：

$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} & … & 0 \\ … & … & … & … & … \\ 0 & 0 & … & 0 & a_{nn} \\ \end{vmatrix} $$

对角线上的元素都不为0，称为对角形行列式。

对角形行列式的值等于主对角线（从左上角到右下角）上的元素的乘积。

（右下）三角行列式

形如：

$$ D = \begin{vmatrix} 0 & 0 & … & 0 & a_{1n} \\ 0 & 0 & … & a_{2n-1} & a_{2n} \\ 0 & … & … & … & … \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{n-1} & a_{nn} \\ \end{vmatrix} $$

行列式的值等于副对角线（从右上角到左下角）上的元素的乘积，符号为副对角线上的元素的排列的逆序数的奇偶性决定： D = (-1)^ [ n(n-1)/2 ] * a1n * a2n-1 * … * an1

1.1 行列式的定义（按列展开）

和按行展开类似，只是每行每列各取一个的时候，行标和列标的排列不同。

1.1 行列式的定义（既不按行展开又不按列展开）

符号由行标和列标的排列的逆序数的相加决定。

$$ D = (-1) ^ { 行标的逆序数 + 列标的逆序数 } * a_{11} * a_{22} * … * a_{nn} $$

例如：

$$ (-1)^ { N(i21m) + N(1k32) } * a_{i1} * a_{2k} * a_{13} * a_{m2} $$

k=4 i=3 m=4 N(3214) + N(1432) = 3 + 3 = 6 , 6为偶数，所以符号为正

k=4 i=4 m=3 N(4213) + N(1432) = 4 + 3 = 7 , 7为奇数，所以符号为负

1.2 行列式的性质

性质1 行列式与它的转置行列式相等。对行成立的性质对列也成立。

转置行列式：行列式的行变成列，列变成行。

$$ (D^T)^T = D $$

$$ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \\ \end{vmatrix} $$

性质2 互换行列式的两行，行列式变号。

$$ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{vmatrix} $$

推论性质3：如果行列式有两行完全相同，则此行列式等于零。

$$ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{vmatrix} = 0 $$

性质4 行列式的某一行中所有的元素都乘以同一个数k，等于用数k乘此行列式。

$$ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} $$

推论性质5：行列式中如果有一行有公因子，则可以把因子提到行列式外面。

$$ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4k & 5k & 6k \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} $$

性质5 行列式中如果有两行元素成比例，则此行列式等于零。

$$ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 6 \\ \end{vmatrix} = 0 $$

推论：某一行全等于0，行列式等于0。

$$ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} = 0 $$

性质6 行列式的某一行，所有元素都是两数之和，可以把行列式拆成两个行列式的和。（只拆分那一行）

$$ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} $$

性质7 行列式中某一行乘以一个数加到另一行去，行列式不变。

D = |1 2 3| = 第一行乘5，加到第二行上 =   |1     2     3|
    |4 5 6|                            |4+5 5+10 6+15|
    |7 8 9|                            |7    8      9|

$$ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} \xlongequal[等于]{第一行乘5，加到第二行上} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4+5 & 5+10 & 6+15 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} $$

利用性质7，可以把行列式化成上三角行列式。结果就为主对角线上的元素的乘积。

1.3 行列式按行展开

1.3.1 代数余子式

余子式

$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} $$

把$a_{22}$所在的行和列划去，剩下的元素组成的行列式称为$a_{22}$的余子式，记作$M_{22}$。

$$ M_{22} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix} $$

代数余子式

把$a_{22}$的余子式乘以$(-1)^{i+j}$，得到$a_{22}$的代数余子式，记作$A_{22}$。(i,j为$a_{22}$的行列标)

$$ A_{22} = (-1)^{2+2} * M_{22} $$

行列式按行或列展开（降阶）

按行展开

任意选定一行，把这一行的每个元素与这个元素的代数余子式的乘积相加，得到行列式的值。

$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} = a_{11} * A_{11} + a_{12} * A_{12} + a_{13} * A_{13} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} + a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix} $$

按列展开

任意选定一列，把这一列的每个元素与它的代数余子式的乘积相加，得到行列式的值。

$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} = a_{11} * A_{11} + a_{21} * A_{21} + a_{31} * A_{31} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} + a_{21} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} + a_{31} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \\ \end{vmatrix} $$

如果选定的某一行或列的0比较多（0直接不算），可以减少计算量，所以要选取0比较多的行或列。

异乘变零定理

某行的元素乘以另一行的元素的代数余子式乘积之和等于0。

$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} = a_{11} * A_{21} + a_{12} * A_{22} + a_{13} * A_{23} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} + a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix} = 0 $$

拉普拉斯定理

k阶子式

从行列式中任意取k行，再从这k行中任意取k列，位于这些行列交叉点上的k个元素组成的行列式，称为k阶子式。

$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} $$

$$ k=2 $$

$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix} $$

余子式

k阶子式的余子式是指把k阶子式所在的行和列划去，剩下的元素组成的行列式。

$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} $$

$$ k=2 $$

$$ D = \begin{vmatrix} a_{33} \end{vmatrix} $$

1.5.3 代数余子式

k阶子式的代数余子式是指把k阶子式的余子式乘以(-1)^(i1+j1+i2+j2+…+ik+jk)，得到的行列式。

1.5.4 拉普拉斯定理

取定k行，把这k行的每个元素与它的代数余子式的乘积相加，得到行列式的值。

1.5.5 同阶行列式相乘

每一行与另一个行列式的每一列相乘

$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32} & a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23}+a_{13}b_{33} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32} & a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}+a_{23}b_{33} \\ a_{31}b_{11}+a_{32}b_{21}+a_{33}b_{31} & a_{31}b_{12}+a_{32}b_{22}+a_{33}b_{32} & a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}+a_{33}b_{33} \\ \end{vmatrix} $$

1.6 行列式的计算

转为上三角行列式，结果为主对角线上的元素的乘积。
按行展开，选择0比较多的行。
加边

例1

$$ D = \begin{vmatrix} 3 & 0 & 4 & 0 \\ 3 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ \end{vmatrix} $$

求$M_{41}+M_{42}+M_{43}+M_{44}$

如果直接按行展开，需要计算4个4阶行列式，计算量比较大。

可以化简一下，

已知行列式展开是一行元素和它的代数余子式的乘积之和，所以尝试把M41+M42+M43+M44化成这样的形式。

先转换为代数余子式的形式，注意正负号：

$$ M_{41} + M_{42} + M_{43} + M_{44} = (-1)(-1)^{4+1} * M_{41} + (-1)^{4+2} * M_{42} +(-1) (-1)^{4+3} * M_{43} + (-1)^{4+4} * M_{44} $$

还有“一行元素”在哪里？

$$ M_{41} + M_{42} + M_{43} + M_{44} = -A_{41} + A_{42} - A_{43} + A_{44} $$

此时，第4行元素替换为这个式子的系数（-1,1,-1,1），得到：

$$ D = \begin{vmatrix} 3 & 0 & 4 & 0 \\ 3 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ \end{vmatrix} $$

选择最多0的行，第3行，计算量最小。

$$ D = (-7) * (-1) ^{3+2} * M_{32} = -56 $$

例2

| x a a a ... a|
| a x a a ... a|
| a a x a ... a|
| a a a x ... a|
| ... ... ... ...|
| a a a a ... x|

求行列式的值

先把每行的元素都加到第一列上，得到：

| x+(n-1)a a a a ... a|
| x+(n-1)a x a a ... a|
| x+(n-1)a a x a ... a|
| x+(n-1)a a a x ... a|
| ... ... ... ... ...|
| x+(n-1)a a a a ... x|

再把列的公因子提到行列式外面，得到：

(x+(n-1)a)  *    | 1 a a a ... a|
                 | 1 x a a ... a|
                 | 1 a x a ... a|
                 | 1 a a x ... a|
                 | ... ... ... ...|
                 | 1 a a a ... x|
                 
然后把第一列乘以-a，加到后面的元素上，

| 1 0 0 0 ... 0|
| 1 x-a 0 0 ... 0|
| 1 0 x-a 0 ... 0|
| 1 0 0 x-a ... 0|
| ... ... ... ...|
| 1 0 0 0 ... x-a|

得到下三角行列式，结果为主对角线上的元素的乘积。= (n-1)(x-a)

例3

| 1+a1 1 1 1 ... 1|
| 1 1+a2 1 1 ... 1|
| 1 1 1+a3 1 ... 1|
|... ... ... ... ...|
| 1 1 1 1 ... 1+an|

加一行1，一列0，得到：(不会改变行列式的值)
|1 1 1 1 ... 1|
|0 1+a1 1 ... 1|
|0 1 1+a2 ... 1|
|... ... ... ... ...|
|0 1 1 ... 1+an|

用第1行*（-1）加到后面的行上，得到：
|1 1 1 1 ... 1|
|-1 a1 0 ... 0|
|-1 0 a2 ... 0|
|... ... ... ... ...|
|-1 0 0 ... an|

变为三叉形行列式，

把第2列乘以1/a1，加到第1列上，第3列乘以1/a2，加到第1列上，...，最后化为上三角行列式。

（1+1/a1+1/a2+...+1/an）* a1*a2*...*an

例4

范德蒙行列式

$$ D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & x_4^2 & x_5^2 \\ x_1^3 & x_2^3 & x_3^3 & x_4^3 & x_5^3 \\ x_1^4 & x_2^4 & x_3^4 & x_4^4 & x_5^4 \\ \end{vmatrix} = (x_2-x_1) * (x_3-x_1) * (x_4-x_1) * \dots * (x_n-x_1) * (x_3-x_2) * (x_4-x_2) * \dots * (x_n-x_2) * \dots * (x_n-x_{n-1}) = \prod_{1<=i<j<=n} (x_i-x_j) $$

反对称行列式

主对角线全为0
上下位置对应成相反数(aij=-aji)
如果为奇数阶，行列式的值为0

$$ D = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & -5 & 6 \\ -2 & 5 & 0 & -8 \\ -3 & -6 & 8 & 0 \\ \end{vmatrix} = 0 $$

对称行列式

上下位置对应相等(aij=aji)

$$ D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 6 \\ 2 & 5 & 3 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 4 \\ \end{vmatrix} $$

1.7 克莱姆法则

只适用于：

$$ 方程的个数=未知数的个数 $$
$$ D!=0 $$
$$ x_j = \frac{D_j}{D} (D_j指的是把第j列换成b_1b_2…b_n的行列式，b指的是方程式的右边的常数项，D指的是系数行列式) ： x_1 = \frac{D_1}{D}, x_2 = \frac{D_2}{D}, x_3 = \frac{D_3}{D}, … , x_n = \frac{D_n}{D} $$

例如

方程组 $$ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 - x_2 + 5x_3 = 6 \\ -x_1 + x_2 + 6x_3 = 9 \\ \end{cases} $$

把系数提出来，得到系数行列式：

$$ D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 5 \\ -1 & 1 & 6 \\ \end{vmatrix} $$

D1 = |1 1 1|
     |6 -1 5|
     |9 1 6|

D2 = |1 1 1|
     |1 6 5|
     |-1 9 6|

D3 = |1 1 1|
        |1 -1 6|
        |-1 1 9|

如果方程组的右边都为0，这个方程叫齐次方程组，齐次方程一定有0解.

如果齐次方程组的系数行列式不为0，那么齐次方程组只有0解。（Dj都为0）
若齐次方程有非0解<=>那么齐次方程组的系数行列式必为0。

矩阵

2.1 矩阵的定义

2.1.1 矩阵的定义

m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m*n矩阵。

$$ A_{m*n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} $$

Am*n表示一个矩阵，m行n列，a11表示第1行第1列的元素，amn表示第m行第n列的元素。

2.1.2 矩阵和行列式的区别

本质：矩阵是一个数表，行列式是一个数。符号：矩阵用()或[]，行列式用||。形状：矩阵行数可以不等于列数，行列式行数等于列数。

实矩阵

矩阵中的元素都是实数的矩阵，称为实矩阵。

*复矩阵

行矩阵

只有一行的矩阵，称为行矩阵。

列矩阵

只有一列的矩阵，称为列矩阵。

零矩阵

所有元素都为0的矩阵，称为零矩阵，记作O。

负矩阵

把矩阵中的每个元素都乘以-1，得到的矩阵，称为负矩阵。

n阶方阵

行数等于列数的矩阵，称为n阶方阵。

An*n 也可以表示为An

方阵有主对角线和副对角线。

单位矩阵

主对角线上的元素都为1，其余元素都为0的n阶方阵，称为单位矩阵，记作En。一般用E,I

$$ E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \\ \end{bmatrix} $$

只有一个元素的矩阵等于数本身

$$ \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} = 1 $$

同型矩阵

两个行数和列数都相等的矩阵，称为同型矩阵。

两个矩阵相等的前提：是同型矩阵

2.2 矩阵的运算

2.2.1 矩阵的加法

矩阵的加法要求两个矩阵是同型矩阵。

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ \end{bmatrix} $$

2.2.2 矩阵的减法

与矩阵的加法类似，要求两个矩阵是同型矩阵。

2.2.3 矩阵的数乘

一个矩阵的每个元素都乘以一个数，等于把这个数乘以这个矩阵。（公因子提出来）

$$ k \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & k & k \\ k & k & k \end{bmatrix} $$

2.2.4 矩阵的乘法

矩阵的乘法要求第一个矩阵的行数等于第二个矩阵的列数，结果的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
$$ A_{mp} * B_{pn} = C_{m*n} $$

每一行的元素与另一个矩阵的每一列的元素相乘，再相加。

$$ \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ a_{4} & a_{5} & a_{6} \\ a_{7} & a_{8} & a_{9} \\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ b_{4} & b_{5} & b_{6} \\ b_{7} & b_{8} & b_{9} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1}b_{1}+a_{2}b_{4}+a_{3}b_{7} & a_{1}b_{2}+a_{2}b_{5}+a_{3}b_{8} & a_{1}b_{3}+a_{2}b_{6}+a_{3}b_{9} \\ a_{4}b_{1}+a_{5}b_{4}+a_{6}b_{7} & a_{4}b_{2}+a_{5}b_{5}+a_{6}b_{8} & a_{4}b_{3}+a_{5}b_{6}+a_{6}b_{9} \\ a_{7}b_{1}+a_{8}b_{4}+a_{9}b_{7} & a_{7}b_{2}+a_{8}b_{5}+a_{9}b_{8} & a_{7}b_{3}+a_{8}b_{6}+a_{9}b_{9} \\ \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} $$

矩阵的乘法不满足交换律，满足结合律。
零矩阵与任何矩阵相乘，结果都是零矩阵。注意结果的形状：A(mn) * O(np) = O(m*p)
与单位矩阵相乘，结果不变。A(mn) * E(nn) = A(mn) = E(nn) * A(m*n)

例：与$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$可交换的所有矩阵

$$ 设B = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, AB = BA, 同阶 $$

$$\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+b & b \\ c+d & d \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ a+c & b+d \end{bmatrix} $$

$$ a+b = a, b = 0, c+d = c, b+d = d $$

$$ 所以, B = \begin{bmatrix} a & 0 \\ c & a \end{bmatrix} (a,c为任意常数) $$

线性替换

方程： $$ \begin{cases} y_1 = x_1 + 2x_2 + 3x_3 \\ y_2 = 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 \\ \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x_1 = z_1 + z_2 \\ x_2 = z_1 + 2z_2 \\ x_3 = z_1 + 3z_2 \\ \end{cases} $$

$$ \begin{cases} z_1 = u_1 + u_2 \\ z_2 = -u_1 + u_2 \\ \end{cases} $$

写成矩阵的形式：

$$ \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \end{bmatrix} $$

代入

$$ \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \end{bmatrix} $$

矩阵的幂运算

$$ A^2 = A * A $$ $$ A^k = A * A * … * A (k个A相乘) $$ $$ A^0 = E (单位矩阵) $$ $$ (A*B)^k != A^k * B^k $$ $$ (A+B)^2 != A^2 + B^2 + 2AB $$

矩阵的转置

Am*n的转置矩阵是n*m的矩阵，记作A^T

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} A^T = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 2 & 1 \ 3 & 1 \end{bmatrix} $$

$$ A_{mn}^T = A_{nm} $$

1.A的转置矩阵的转置矩阵等于A

$$ (A^T)^T = A $$

2.A+B的转置矩阵等于A的转置矩阵加上B的转置矩阵

$$ (A+B)^T = A^T + B^T $$

3.A的转置矩阵的数乘等于A的数乘的转置矩阵

$$ (kA)^T = kA^T $$

4.AB的转置矩阵等于B的转置矩阵乘以A的转置矩阵(注意顺序,倒过来)

$$ (AB)^T = B^T * A^T $$ $$ (ABC)^T = C^T * B^T * A^T $$

特殊矩阵

数量矩阵

主对角线上的元素都相等，其余元素都为0的n阶方阵，称为数量矩阵，记作kEn。

$$ kE = \begin{bmatrix} k & 0 & \dots & 0 \\ 0 & k & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & k \\ \end{bmatrix} $$

零矩阵和单位矩阵都是特殊的数量矩阵。

两个数量矩阵相加，结果还是数量矩阵。

$$ \begin{bmatrix} k & 0 & \dots & 0 \\ 0 & k & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & k \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} k & 0 & \dots & 0 \\ 0 & k & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & k \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2k & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 2k & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 2k \\ \end{bmatrix} $$

两个数量矩阵相乘，结果还是数量矩阵。

$$ \begin{bmatrix} k & 0 & \dots & 0 \\ 0 & k & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & k \\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} k & 0 & \dots & 0 \\ 0 & k & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & k \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k^2 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & k^2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & k^2 \\ \end{bmatrix} $$

对角形矩阵

主对角线上的元素都不为0，其余元素都为0的n阶方阵，称为对角形矩阵。

$$ D = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{22} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} = diag(a_{11},a_{22},\dots,a_{nn}) $$

对称矩阵

主对角线上的元素都不为0，且关于主对角线对称的矩阵，称为对称矩阵。

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} $$

$$ a_{ij} = a_{ji} $$ $$ A^T = A $$ $$ (A+B)^T = A^T + B^T = A + B $$ $$ (kA)^T = kA^T = kA $$ $$ (AB)^T = B^T * A^T = BA != AB $$

定理1：A，B为n阶对称矩阵，则AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA（AB可交换）。$(AB)^T = B^T * A^T = BA = AB$

证明：$AA^T 与 A^TA 都是对称矩阵$

如果是对称矩阵，那么$A^T = A$,所以

$(AA^T)^T = (A^T)^T * A^T = AA^T$

$(A^TA)^T = A^T * (A^T)^T = A^TA$

反对称矩阵

主对角线上的元素都为0，且关于主对角线对称的矩阵，称为反对称矩阵。

$$ A = \begin{bmatrix} 0 & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ -a_{12} & 0 & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{1n} & -a_{2n} & \dots & 0 \\ \end{bmatrix} $$ $$ a_{ij} = -a_{ji} $$ $$ A^T = -A $$

逆矩阵

方阵的行列式

矩阵 $$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} $$ 的行列式，记作$|A|$ $$ |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} $$

性质1：行列式转置值不变

$$ |A| = |A^T| $$

性质2⭐：行列式的某一行（列）的公因子可以提到行列式外面

$$ |kA| = k^n|A| $$

性质3：|AB| = |A| * |B|

伴随矩阵

只有方阵才有伴随矩阵。

求伴随矩阵的步骤：

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} $$

求A所有元素的代数余子式

$$ A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} $$

按行求的代数余子式按列放（第一行放在第一列，第二行放在第二列，…）

$$ A^* = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \\ \end{bmatrix} $$

定理1：$AA^* = A^*A = |A|E$（总是成立）

证明：根据异乘变换零，

$$ A * A^* = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\dots+a_{1n}A_{1n} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+\dots+a_{2n}A_{2n} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & a_{n1}A_{n1}+a_{n2}A_{n2}+\dots+a_{nn}A_{nn} \\ \end{bmatrix} $$

$$ = \begin{bmatrix} |A| & 0 & \dots & 0 \\ 0 & |A| & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & |A| \\ \end{bmatrix} = |A|E $$

定理2：$|A^{*}| = |A|^{n-1}$

逆矩阵

设A是n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E（AB或BA等于单位矩阵），那么称B是A的逆矩阵，记作$A^{-1}=B$，A称为可逆矩阵。

$$ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $$ $$ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T $$ $$ (A^)^{-1} = (A^{-1})^ $$

定理1：未必所有的方阵都有逆矩阵

0矩阵没有逆矩阵，因为0矩阵乘以任何矩阵都是0矩阵。

定理2：如果A有逆矩阵，那么A的逆矩阵是唯一的

$$设B和C都是A的逆矩阵，那么AB=BA=E,AC=CA=E$$

$$B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C$$

定理3：A可逆的充要条件是$|A|!=0$，且$A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}$

如果A可逆，那么$|AA^{-1}| = |A||A^{-1}| = |E| = 1(|A|!=0)$

求逆矩阵方法

伴随矩阵法
初等变换法（一般使用）

$例：A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \\ \end{bmatrix},求A^{-1}$

——————速通——————

矩阵的初等变换

1.行交换

矩阵的两行交换

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \xrightarrow{r_1 <=> r_3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} $$

2.行乘以一个非零数

矩阵的某一行乘以一个非零数

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \xrightarrow{r_2 * 2} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 4 \\ \end{bmatrix} $$

3.一行乘以一个非零数加到另一行

矩阵的某一行乘以一个非零数加到另一行

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \xrightarrow{r_2 - 2r_1} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \\ \end{bmatrix} $$

初等变换求逆矩阵

初等变换求逆矩阵的步骤如下：

首先，将矩阵A和单位矩阵E写在一起，形成一个2x2的矩阵。即$(A,E)$。
对矩阵A进行初等行变换，即对矩阵A进行行变换，每次变换的结果都记录在新的矩阵中。
当矩阵A变为单位矩阵E时，即完成了所有的初等行变换。此时，矩阵A的逆矩阵就求出来了，记为$(E,A^{-1})$
最后，将$(E,A^{-1})$拆分为单独的矩阵$E$和$A^{-1}$，即可得到A的逆矩阵$A^{-1}$。

注意：这个方法仅适用于可逆矩阵，如果矩阵A不可逆，那么该方法可能会失效。

例：求矩阵$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \\ \end{bmatrix}$的逆矩阵。

$$ (A,E) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 4 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} $$

将第一行乘以-2加到第二行

$$ \xrightarrow{r_2 - 2r_1} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 4 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} $$

$$ … $$

$$ \xrightarrow{} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \end{bmatrix} $$

$$ (E,A^{-1}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \end{bmatrix} $$

$$ A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \end{bmatrix} $$

例2：已知矩阵$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \\ \end{bmatrix}$，矩阵$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$，$A*X = B$，求X。

$$ \xlongequal{左乘} A^{-1} * A * X = A^{-1} * B $$ $$ \xrightarrow{} EX = A^{-1} * B $$ $$ \xrightarrow{} X = A^{-1} * B $$ $$ … $$

例3：A为3阶矩阵，$|A| = \frac{1}{2}$，求则$|(2A)^{-1}-5A^*|$

$$ |(2A)^{-1}-5A^| $$ $$ \xlongequal{根据A^{-1} = \frac{A^}{|A|}} |(2A)^{-1}- \frac{5}{2}A^{-1}|$$ $$ \xlongequal{根据( kA )^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}} | \frac{1}{2}A^{-1}- \frac{5}{2}A^{-1}| $$ $$ = | -2A^{-1} |$$

$$ \because |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 $$

$$ \xlongequal{根据|kA| = k^n|A|} |(-2)^3|A^{-1}| = -8* \frac{1}{|A|} = -8*2 = -16 $$

分块矩阵

拉普拉斯展开法

A-m阶，B-n阶，O为零矩阵，*为任意矩阵

$$ \begin{vmatrix} A & * \\ O & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & O \\ * & B \end{vmatrix} = |A|*|B| $$

$$ \begin{vmatrix} A & O \\* & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & * \\ O & B \end{vmatrix} = (-1)^{mn}|A|*|B| $$

如：

$$ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{vmatrix} $$

分块对角矩阵的逆矩阵

$$ \begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} O&A \\ B&O \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{bmatrix} (注意顺序) $$

$$ \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0& 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{bmatrix}^{n} = \begin{bmatrix} \lambda_1^n & 0& 0 \\ 0 & \lambda_2^n & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3^n \end{bmatrix} $$

如： $$ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0&\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{bmatrix} $$

向量与线性方程组

方程组

解方程组

$$ \begin{cases} x_1 + 2x_2 = 3 \\ 2x_1 - x_2 = 1 \end{cases} $$

$$ \leftrightarrow \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 \\ 2x_1 - x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} $$

$$ \leftrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} $$

$$ \leftrightarrow A * X = \beta $$

A-系数矩阵
$(A, \beta)$-增广矩阵

$$ \begin{cases} 当 \beta = 0 时,A * X = 0,称为齐次方程组 \\ 当 \beta \neq 0 时,A * X = \beta,称为非齐次方程组 \\ \end{cases} $$

行阶梯形矩阵

在矩阵上画出一条阶梯线，使得阶梯线以下的所有元素都为0
每级阶梯仅占一行，不仅一列

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} $$

行最简阶梯形矩阵

1.是行阶梯形矩阵 2.每级阶梯右边的第一个元素为1，且这个元素所在列的其他元素都为0

解方程组通解的步骤

齐次方程组的解法：
利用初等变换化将A化为行最简阶梯形矩阵
非齐次方程组的解法：
利用初等变换化将(A,β)化为行最简阶梯形矩阵

①齐次方程组： $$ \begin{cases} x_1 + x_2 - x_4 = 0 \\ 2x_1+x_2+2x_3 -2x_4 = 0 \\ 3x_1+2x_2+2x_3-3x_4 = 0 \\ \end{cases} $$

$$ \because 系数矩阵A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 2 & -2 \\ 3 & 2 & 2 & -3 \\ \end{bmatrix} $$

$$ 初等变换： \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} $$

$$ \therefore \begin{cases} x_1 + 2x_3 - x_4 = 0 \\ x_2 - 2x_3 = 0 \\ \end{cases} = \begin{cases} x_1 = -2x_3 + x_4 \\ x_2 = 2x_3 \\ \end{cases} $$

$$ 令x_3 = k_1,x_4 = k_2$$

$$ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2k_1 + k_2 \\ 2k_1 \\ k_1 \\ k_2 \\ \end{bmatrix} = k_1 * \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + k_2 * \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} (\forall k_1,k_2 \in R) $$

k后面的向量称为齐次方程组的基础解系，记作$\alpha_1,\alpha_2$。$(-2,2,1,0)^T,(1,0,0,1)^T$ $$A_{m*n} X = 0 基础解系的向量个数为n-r(A)，n为未知数个数，r(A)为A的秩$$

②非齐次方程组： $$ \begin{cases} x_1 + x_2 - x_4 = 2 \\ 2x_1+x_2+2x_3 -2x_4 = 5 \\ 3x_1+2x_2+2x_3-3x_4 = 5 \\ \end{cases} $$

$$ \because 增广矩阵(A,\beta) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -2 & 5 \\ 3 & 2 & 2 & -3 & 5 \\ \end{bmatrix} $$

$$ 初等变换： \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} $$

$$ \therefore \begin{cases} x_1 + 2x_3 - x_4 = 3 \\ x_2 - 2x_3 = -1 \\ \end{cases} = \begin{cases} x_1 = -2x_3 + x_4 + 3 \\ x_2 = 2x_3 - 1 \\ \end{cases} $$

$$ 令x_3 = k_1,x_4 = k_2$$

$$ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2k_1 + k_2 + 3 \\ 2k_1 - 1 \\ k_1 \\ k_2 \\ \end{bmatrix} = k_1 * \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + k_2 * \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} (\forall k_1,k_2 \in R) $$

$$ k_1 * \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + k_2 * \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} 称为齐次方程组的通解,\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} 是自身的一个解，称为非齐次方程组的一个特解 $$

向量组的线性表示与线性相关性

向量组的线性表示

$$ \exists x_1,x_2,x_3, 使得x_1 * \alpha_1 + x_2 * \alpha_2 + x_3 * \alpha_3 = \beta \\ \Leftrightarrow \beta 可以由 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 线性表示 \\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} = \beta 有解 \\ \Leftrightarrow A * X = \beta 有解 $$

$$ \begin{cases} 代数上：\beta 由A的列向量组线性表示的系数就是A*X = \beta 的解 \\ 几何上：\beta由A的列向量组线性表示 \rightarrow \beta 与\a_1,\a_2,\a_3在同一n维空间内 \\ \end{cases} $$