⌈微积分⌋1函数

函数

$$ y = f(x) $$

渐近线

水平渐近线

求水平渐近线的步骤:

$$ 若 \lim_{x \to +\infty} f(x) = a_1 或 \lim_{x \to +\infty} f(x) = a_2,\\ 则 y = a_1 或 y = a_2 是 y = f(x) 的水平渐近线 $$

如: $$ y = \frac{1}{x},\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 $$ $$ 则 y = 0 是 y = \frac{1}{x} 的水平渐近线 $$

垂直渐近线:

求垂直渐近线的步骤:

$$ 若 \lim_{x \to a^{+}1} f(x) = \infty 或 \lim{x \to a^{-}_2} f(x) = \infty,\\ 则x = a_1 或 x = a_2 是 y = f(x) 的垂直渐近线 $$

如: $$ y = \frac{1}{x},\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = \infty,则 x = 0 是 y = \frac{1}{x} 的垂直渐近线 $$

斜渐近线:

求函数斜渐近线的步骤:

$$ 如果 \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} 和 \lim_{x \to +\infty } [f(x) - k_1x] = b_1 同时存在,则 f(x) 存在一条斜渐近线 $$

$$ 如果 \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} 和 \lim_{x \to -\infty } [f(x) - k_2x] = b_2 同时存在,则 f(x) 存在一条斜渐近线 $$

如: $$ f(x) = \frac{x^2-1}{x+1} $$

$$\because k_1 = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2-1}{x^2+x} = 1$$

$$\because b_1 \lim_{x \to +\infty} [f(x) - k_1x] \\ \\ = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2-1}{x+1} - x \\ \\ = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x-1}{x+1} = -1$$

$$\therefore y = x - 1 是 f(x) 的斜渐近线$$

间断点
Licensed under CC BY-NC-SA 4.0
Last updated on Oct 04, 2024 04:07 UTC
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