数论-裴蜀定理

古老而优雅的数学原理

裴蜀定理

定义

裴蜀定理,又称贝祖定理(Bézout’s lemma)、贝祖等式(Bézout’s identity)。是一个关于最大公约数的定理,在处理不定方程和线性丢番图方程时非常有用

内容:

对于任何整数$a$、$b$和它们的最大公约数$d$,

关于未知数x和y的线性丢番图方程$ax + by = m$有解当且仅当$m$是$d$的倍数。

这个定理的一个重要推论是:如果$a$和$b$互质( 即它们的最大公约数为1),那么存在整数x和y使得$ax + by = 1$.

例如,考虑整数$a = 12,b = 42$:

计算最大公约数$d=\text{gcd}(12, 42) = 6$。

根据裴蜀定理,对于任何整数m,如果m是6的倍数,那么方程$12x + 42y = m$一定有整数解$x$和$y$。

Licensed under CC BY-NC-SA 4.0
Last updated on Oct 04, 2024 04:07 UTC
让过去的过去,给时间点时间
Built with Hugo
Theme Stack designed by Jimmy