$F’(x)=f(x)$

$F(x)$是$f(x)$的一个原函数.

F(x)是f(x)的一个原函数,F(x)+c也是f(x)的原函数

$f(x)$是$F’(x)$的导函数.

知道$F’(x)$,$f(x)$只有唯一一个

知道$f(x)$,$F’(x)$可以有无穷多个

不定积分

$f(x)$的原函数的全体

$\int_{}{}f(x) \text{d}x$

$\int_{}{}$: sum,积分符号

$x$: 积分变量

$f(x)$: 被积函数

$\int_{}{}f(x) \text{d}x = F(x)+c$

例题

1) $\int_{}{}x^2 \text{d}x = \frac{1}{3}x^3+c$

几何意义

性质

k可以朝外拿:

①k是常数

②k是与x无关的另变量

1600874436855.png
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有限个可以,但无限个不能

基本积分公式

1600875099212.png
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例题:

1600880107488.png
1600880107488.png
1600880350925.png
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1600880532801
1600880532801

积分法

第一换元积分法(凑微分法)

求原函数

1600959600842
1600959600842

1)把d外面的某项拿到d里面(变成原函数)

2)凑基本积分公式

例题:

dk()=kd()

d()里面的项可以随意加减常数

1600964019281
1600964019281
1600965342157
1600965342157
1600966288346
1600966288346
1600966889415
1600966889415

第二换元积分

求导

1600968183522
1600968183522
1600968762395
1600968762395
1600969286878
1600969286878
1600969564112
1600969564112
1600969724741
1600969724741
1600969833171
1600969833171
公式

分部积分法

1600996506632.png
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1600997159717.png
1600997159717.png
1600997865246.png
1600997865246.png
1600998084405
1600998084405
1600998742526
1600998742526

1601020665712.png
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优先:

$e^x,sinx,cosx,x(x^n),lnx,arctanx$

有理函数积分

分子的最高次数比较高:

1601020665712.png
1601020665712.png

最高次数相等(最终使分母次数高):

1601020930143
1601020930143

所有方法都要化成分母次数比分子次数高。

真分式

分母次数比分子次数高的叫做真分式

第一类题目

1601021927432
1601021927432

1)$b^2-4ac=0$ $ax^2+bx+c=0$

$a(x-x_1)^2=0$

例如:1601022001083

2)$b^2-4ac>0$ $ax^2+bx+c=0$有两个不等的根

$a(x-x_1)(x-x_2)=0$

待定系数法:

1601022253671
1601022253671
1601022285476
1601022285476" style="zoom:33%;
1601022327199
1601022327199

3)$b^2-4ac<0$ $ax^2+bx+c=0$没有实根

1601022770780
1601022770780" style="zoom:33%;
1601022751842
1601022751842

第二类题目

1601022980770
1601022980770

1)$b^2-4ac=0$ $ax^2+bx+c=0$

1601023694401
1601023694401

2)$b^2-4ac>0$

待定系数法:

1601023802367
1601023802367

3)$b^2-4ac<0$

1601024256435
1601024256435

第三类题目

1601028039597
1601028039597
1601030780920
1601030780920

第一类表达式

1601030922466
1601030922466

比如:

1601030765738
1601030765738

3)1601031708083

第二类

1601030987071
1601030987071
1601031354989
1601031354989

解法:

1601032503258
1601032503258

左右相等:

$A_1+2A_2=0$平方项

$A_2+2A_3=0$1次项

$A_1+A_3=1$常数项

1601035938562
1601035938562

或者:

1601036063786
1601036063786

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